propiedades de los logaritmos


PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. Dos números distintos tienen logaritmos distintos.

Si

2. El logaritmo de la base es 1

, pues

3. El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea labase

, pues

4. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores



5. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo deldenominador



6. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia



7. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando divididopor el índice



8. Cambio de base: El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base



Función logarítmica
Para justificar la definición delogaritmos, es necesario mostrar que la ecuación

tiene una solución x y que esta solución es única, provista de que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requieredel teorema del valor intermedio del cálculo elemental.[3] Este teorema establece que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n.Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel.
Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función f(x) = bx. Puestoque f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier número y > 0 que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para un adecuado x0 y x1. Por lo tanto, el teorema delvalor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función f es estrictamente creciente (para b > 1), oestrictamente decreciente (para 0 < b < 1).[4]
La única solución x es el logaritmo de y en la base b, logb(y). La función que asigna a cada y su logaritmo se llama función logaritmo o función logarítmica...