Propiedades De Los Numeros Enteros

Matemáticas I
Técnico Financiero Semestre 2007- 1 CONJUNTOS NUMERICOS I. Números naturales
El conjunto de los números naturales se representa por IN y corresponde al siguiente conjunto numérico: IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.....} Los 5 puntos sucesivos significan: "así sucesivamente", estos números son los que se utilizan principalmente para contar objetos existentes. Los números naturales sonun conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a IN. Ejemplo: 5 + 6 = 11, el 11 pertenece a IN. 5 · 7 = 35, el 35 pertenece a IN. No ocurre lo mismo con las operaciones inversas, o sea, la sustracción y la división. Ellas no son operaciones cerradas en IN. Ejemplo: 3 - 5 = -2, y-2 no es un elemento de IN. 1: 4 = 0,25; y 0,25 no es un elemento de IN. Este conjunto además tiene algunas características: • Todo número natural tiene un sucesor, que corresponde al número natural aumentado en una unidad. El antecesor de un número natural es el número disminuido en una unidad. Todo número natural, exceptuando el “1”, tiene un antecesor. Por ejemplo, el antecesor de 56 es 55, elde 455 es 454, etc. El conjunto de los números naturales es infinito, es decir no existe un último número natural.

Por ejemplo: El sucesor de 45 es 46, el de 1209 es 1210, etc. • •

Profesor: Edward Rogers P. Además, este conjunto se puede separar en dos subconjuntos, el de los números pares e impares. Los pares son el 2,4,6,8,10,12,14,16,18………………2n. Los impares son el 1, 3, 5, 7,9,11,…………..2n-1. Los conceptos de sucesor y antecesor, se pueden también generalizar para los números pares e impares, obteniendo de esta forma los conceptos de “par sucesor” y “par antecesor”, “impar sucesor” e “impar antecesor”. Por ejemplo, el impar sucesor de 41 es 43 y el par antecesor de 78 es 76. Además, dentro de los números naturales existen Los Numero Primos, que son aquellos que son divisibles por 1 ypor si mismo a excepción del numero “1”. Los primeros números primos son el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,23,………………….. Los números primos son de mucha importancia, por que se pueden expresar como producto de números primos. Por ejemplo, el numero 150, se puede expresar como el producto de 2*3*5*5. Esta descomposición se llama factorización prima y tiene importancia para el cálculo del Mínimo ComúnMúltiplo y el Máximo común divisor. El Mínimo común múltiplo, se calcula, mediante la descomposición prima de todos los números y luego multiplicándolos. Ejemplo: El M.C.M entre 6, 12, 18,24 y 30 seria:

6 3 1 1 1 1 1

12 6 2 1 1 1 1

18 9 3 3 3 1 1

24 12 4 2 1 1 1

30 15 5 5 5 5 1

2 3 2 2 3 5

Entonces el M.C.M es 2*3*2*2*3*5 = 360

Profesor: Edward Rogers P. El Máximo comúndivisor, se obtiene de igual manera que el caso anterior, pero ahora consiste en encontrar el mayor número que divide en forma simultánea a la totalidad de los números expuestos.

6 2 1

12 4 2

18 6 3

24 8 4

30 10 5

3 2

El Máximo Común divisor es el 3*2= 6, Ya que el 6, divide en forma simultánea a la totalidad de los números.

Propiedades de los Números Naturales
I. En losnúmeros naturales se cumplen las siguientes propiedades para la adición: 1.- Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN, esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9. 2.- Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN Verifiquemos que (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolviendo los paréntesis: 7+6=5+8 3.- Propiedad deClausura: (a + b) 13 = 13
∀ a,b

∈ a IN

∈ IN
a es mayor que b y b ≠ 0

II. En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la sustracción: (a – b)

∈ a los IN ⇔

Ejemplo: 10 – 18 = -8 ∉ a IN

Profesor: Edward Rogers P. III. En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación: 1.- Conmutatividad: a · b = b · a, con a y b...