Propiedades de los numeros reales

CAP´TULO 1 ı

´ ´ TEORIA BASICA DE CONJUNTOS
Cualquier colecci´ n de objetos o individuos se denomina conjunto. El t´ rmino conjunto no o e tiene una definici´ n matem´ tica, sino que es un concepto primitivo. Ejemplos de conjuntos son o a el conjunto de los n´ meros naturales, de los televisores de la ciudad de C´ rdoba y de los peces u o en los oc´ anos. Nuestro objetivo ser´ estudiaraquellos conjuntos que est´ n relacionados con el e a a campo de la matem´ tica, especialmente los conjuntos num´ ricos. La teor´a de conjuntos es funa e ı damental en matem´ tica y de suma importancia en inform´ tica, donde encuentra aplicaciones a a en areas tales como inteligencia artificial, bases de datos y lenguajes de programaci´ n. ´ o

1.

Conjuntos y pertenencia

Un conjunto es unacolecci´ n de elementos diferentes. Los objetos que integran un conjunto o se llaman elementos de ese conjunto. Ejemplos de conjuntos son los siguientes: El conjunto de los n´ meros enteros. u El conjunto de los n´ meros naturales mayores que 5 y menores que 9. u El conjunto formado por los estudiantes de primer a˜ o de la Fa.M.A.F. n El conjunto formado por un punto P en el plano y las rectas que pasanpor el. ´ En general usaremos letras may´ sculas para designar a los conjuntos y letras min´ sculas u u para designar a sus elementos. Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a ∈ A y se lee a pertenece a A o a es un elemento de A. Si a no es un elemento del conjunto A se escribe a ∈ A y se lee a no pertenece a A o a no es elemento de A. Los s´mbolos N, Z, Q y R servir´ n para ı a denotar alos siguientes conjuntos: N: el conjunto de los n´ meros naturales. u Z: el conjunto de los n´ meros enteros. u Q: el conjunto de los n´ meros racionales. u R: el conjunto de los n´ meros reales. u
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´ ´ 1. TEORIA BASICA DE CONJUNTOS

Definir un conjunto es describir de una manera precisa, sin ambig¨ edades, cu´ les son los u a elementos de dicho conjunto. Existen distintas maneras dedefinir un conjunto. La forma m´ s a simple, pero que no siempre es posible, es por extensi´ n, es decir listando todos los elementos o del conjunto separados por comas y encerrando todo entre llaves:

A = {1, 2, 3, 5, π},

U = {a, e, i, o, u},

M = {Talleres, Instituto, Belgrano}.

El orden en el cual se enumeran los elementos del conjunto es irrelevante, y los elementos se consideran unasola vez. E JEMPLO 1.1. {1, 2, 3}, {3, 2, 1} y {1, 1, 2, 2, 2, 3} describen al mismo conjunto. En algunos casos no se listan todos los elementos, pero se nombran los suficientes y se usan los puntos suspensivos “. . . ”para sugerir los elementos faltantes: E JEMPLO 1.2. B = {3, 5, 7, . . . }, C = {2, 4, . . . , 25 }. Sin embargo esta forma de nombrarlos es siempre ambigua, no puede saberse deantemano qu´ elementos son los que se han omitido. Por ejemplo, B podr´a ser el conjunto de los n´ meros e ı u impares, o podr´a ser el conjunto de los n´ meros primos mayores que 2. Del mismo modo, C ı u podr´an ser todos los pares entre 2 y 25 o bien todas las potencias de 2 comprendidas en el ı intervalo natural [2, 25 ]. Otra forma de describir un conjunto es por comprensi´ n, es decir enunciandouna propiedad o de los elementos que lo integran: A = {x | x cumple la propiedad P }. Esto se lee: “el conjunto de los x tales que x cumple la propiedad P . E JEMPLO 1.3. El conjunto B = {x | x es natural e impar y x ≥ 3} est´ formado por todos los n´ meros naturales impares mayores o iguales a 3. En este caso se a u trata de un conjunto con un n´ mero infinito de elementos, y por lo tanto no podemosdefinirlo u por extensi´ n. o

2. SUBCONJUNTOS

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E JEMPLO 1.4. El conjunto C = {x | x es natural y 2 ≤ x ≤ 26 y x es potencia de 2} es el conjunto formado por los elementos 2, 4, 8, 16, 32 y 64. El conjunto C se define tambi´ n e por extensi´ n como o C = {2, 4, 8, 16, 32, 64}.

El conjunto vac´o es un conjunto sin elementos. Se lo denota con el s´mbolo ∅ o { }. ı ı E JEMPLO 1.5. El...