Propiedades de los numeros reales
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
1)Propiedad Conmutativa: a+b = b+a Sean a,b pertenecientes a los reales.2)Propiedad Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) Sean a,b,c pertenecientes a losreales.3)Existencia de elemento inverso(inverso aditivo): a+(-a)=04)Existencia de elemento neutro: a+0=a5)Propiedad Conmutativa del producto: a.b=b.a6)Propiedad Asociativa del producto: ( a.b).c= a.(b.c)7)Existencia de elemento inverso: a.1/a = 18)Existencia de elemento neutro(del producto) : a.1 = a9)Propiedad Distributiva: (a+b).c = ac+bc (a.b)+c=(a+c).(b+c)10)Tricotomia : a>b , a<b o a=b11)Monotonia de la suma12 Monotonia del producto.13) Propiedad Transitiva a>b>c entoncesa>c14) Propiedad Uniforme.
(tricotomania)
La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos números reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad:
a<b, a=b, a>b.
Para cualquier relación de equivalencia R encendido conjunto A, la relación es tricótoma si para todo el x y y en A exactamente una de
xRy, x=y, yRx
asimientos.
Una relación tricótoma no essimétrica, no es reflexivo, sino es transitiva.
Propiedads de relaciones tricótomas |
Propiedad | Ecuación | Descripción |
Propiedad simétrica | xRx es siempre falso. | Una relación tricótoma no es simétrica. Por ejemplo, la declaración 3<3 es siempre falso. |
Propiedad reflexiva | Si xRy entonces no yRx | Una relación tricótoma no es reflexiva. Por ejemplo, 3<4 ⇒ 4≮3. |
Propiedadtransitiva | Si xRy y xRz entonces xRz | Una relación tricótoma es típicamente transitiva. Por ejemplo, 3<4, 4<5 ⇒ 3<5. |
Cuadro 1 |
Conjuntos acotados en R. El axioma del supremo
Dado un subconjunto S de R y un número real a, si a # s para todo s & S se dice que a es una
cota inferior de S y que S está acotado inferiormente (por a). Si b es otro número real y b $ s para
todos & S, se dice que b es una cota superior de S y que S está acotado superiormente (por b). Si un
conjunto S está acotado superior e inferiormente, se dice que está acotado.
Un número real m se dice que es el mínimo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una
cota inferior. Es decir, si m & S y m # s para todo s & S. Se escribe entonces m = m´ınS.
Un número real M se diceque es el máximo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una
cota superior. Es decir, si M & S y M $ s para todo s & S. En ese caso, se escribe M = m´axS.
Un número real a se dice que es el ínfimo de un conjunto S si es la mayor cota inferior del S. Es
decir, si a # s para todo s & S y cada a- > a no es cota inferior de S; de modo que se tendrá a- > s-
para algún s-& S. En ese caso, se escribe a =´ınfS.
Dicho de otra forma, el ínfimo de un conjunto es el máximo del conjunto de cotas inferiores del
primero. Nótese que si a =´ınfS, será a = m´ınS si y solo si a & S.
Un número real b se dice que es el supremo de un conjunto S si es la menor cota superior del S.
Es decir, si b $ s para todo s & S y cada b- < b no es cota superior de S; de modo quese tendrá b- < s-
para algún s- & S. Se escribe b = supS.
Dicho de otra forma, el supremo de un conjunto es el mínimo del conjunto de cotas superiores del
primero. Nótese que si b = supS, será b = m´axS si y solo si a & S.
El axioma del supremo, o axioma de completitud de R, es la siguiente propiedad que caracteriza
la diferencia entre Q y R:
• Todo subconjunto no vacío...
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