Propiedades De Los Numeros Reales

ACTIVIDAD 2. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Resuelve los siguientes ejercicios, tomando en cuenta los axiomas de los números reales.Dado x,y,z ∈ ℝ,, donde y , demuestre que
Tenemos que:
x< y
z < 0
Con estos datos, ahora demostramos:
x - y < 0
z < 0
Ahora al multiplicar:
z(x – y) > 0
xz – yz > 0
Y finalmente se demuestra que:
xz > yz
Demuestre que paracualesquiera x,y,z, w ∈ ℝ tales que y entonces .
Tenemos que:
0 < x
x < y
0 < z
z < w
Con estos datos demostramos:
x < y
z < w
Entonces:
xz < yw
Demuestre porinducción matemáticas que dados x,y ∈ ℝ tales que demostrar que para cualesquiera n ∈ ℝ.
Mediante inducción matemática:
Tenemos de datos:
0 < x < y ó se puede dejar x < y
Ahora para demostrarsupongamos:
n = k (k es cualquier valor)
xn < yn
n = k + 1
xn(k + 1) < yn(k + 1)
k + 1 = k + 1. (Como x < y, y ambos están siendo elevados a una misma potencia, con esto es suficientepara determinar que es cierto para k + 1)
Resolver la ecuación .
x + |2x – 5| = 1 + |x|
3x – 5 = 1 + x
3x – x = 1 + 5
2x = 6
x = 6/2
x = 3
Resolver la desigualdad .
Tenemos que factorizar laexpresión:
(x – 4) (x + 3) ≥ 0
Ahora obtenemos que:
(x – 4) (x + 3) = 0
x – 4 = 0→x = 4
x + 3 = 0→x = -3
Resolver la desigualdad .
= x + 1 ≥ 2 (x - 1)
= x + 1 ≥ 2x + 2
= x – 2x ≥ – 2 – 1= -x ≥ -3
X ≤ 3
= x + 1 ≥ -2 (x - 1)
= x + 1 ≥ -2x + 1
= x + 2 ≥ 2 – 1
= 3x ≥ 1
X ≥ 1/3
Demuestre que para cualesquiera x,y ∈ ℝ y .
Primero expresamos el valor absoluto:
|a| = a2Ahora seexpresa:
xy=x2yPosteriormente se puede colocar de la siguiente manera:
x2y2=x2y2Y finalmente se obtiene:
xyResolver la desigualdad .
Primero se hace la relación:
x2 + 4x + 10 = (x2 + 4x) +10 =(x2 + 4x + 4) + 10 – 4 = (x + 2)2 + 6
Posteriormente, verificamos que para cada x ∈ ℝ:
(x +2)2 ≥ 0
6 > 0
Lo cual implica:
(x +2)2 + 6 > 0
Teniendo:
x2 + 4x + 10 > 0
Concluyendo en...