Propiedades del limite
1.
Si
2. Si entonces la función f está acotada en un entorno reducido de x = a
Por propiedad del módulo:
Con lo cual
SeaEntonces f está acotada en un entorno reducido de x = a
3. (Conservación del signo)
Puede demostrarse esta propiedad dividiéndola en dos partes:
a)
Si l < h entonces h - l > 0 (h - les positivo)
Como > 0 es arbitrario, consideremos :
Por propiedad del módulo:
Entonces
f(x) - l < h - l
f(x) < h
En particular, si h = 0
b)
La demostración es similar al casoa)
En particular, si m = 0 será l > 0; por lo tanto existe E´(a; ) tal que
Considerando lo demostrado en a) y b) se puede concluir:
Si y entonces existe E´(a; ) donde los valores de ftienen el mismo signo que l.
Aclaración: Nada puede asegurarse si l = 0.
4. Dadas las funciones f y h tales que y siendo entonces existe un entorno reducido de x = a en el cual
Como R es unconjunto denso, si se sabe que existe algún número real k tal que , es decir,
Si por la propiedad antes demostrada
Si por la propiedad antes demostrada
Entonces enf(x) < h(x)
5. Unicidad del límite: Si una función tiene límite finito en x = a entonces ese límite es único
Supongamos que l no es único: y
Si de acuerdo con la propiedad anterior, lo cuales absurdo.
Y si según la misma propiedad, que conduce también a un absurdo.
El absurdo surge de suponer ; por lo tanto : el límite es único.
6. Propiedad de intercalación: Dadas lasfunciones f, g y h tales que y se cumple que y además , entonces
Aplicando la definición de límite finito se obtiene en un entorno reducido de x = a que:
Considerando además, por hipótesis, quese obtiene:
7. Propiedad Fundamental del Límite:
que significa
Es decir, es un infinitésimo.
Por notación de infinitésimos, esto puede escribirse
con si...
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