propiedades del valor absoluto

Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones oinecuaciones que incluyen valor absoluto.
Propiedad 1


Demostración



Hay dos posibles casos:
Caso 1:



Caso 2:


Propiedad 2
Si
Demostración:(ejercicio para el estudiante)Propiedad 3
Si

Demostración

Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:

en particular:

Usando esta definición se tiene que:


Propiedad 4


Demostración:(ejercicio para elestudiante)
Propiedad 5
Si entonces

Demostración
Aquí también usaremos el hecho de que:

Si
 

Propiedad 6


Demostración

, se tiene que:





Propiedad 7
Sea una variablereal y un número real positivo:


Interpretación geométrica de esta propiedad
 

 
Demostración

Como
                      
 



 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
  
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 








Propiedad 8
Sea una variable real y un número real positivo entonces:
 
Demostración

Como , se tiene:
 



 
 
  




 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 





 
Resolviendo esta inecuación:

De aquí se tiene:



Interpretación geométrica de esta propiedad:Propiedad 9

Sea una variable real y un número real positivo entonces:

Demostración
Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada, dejaremos esta demostracióncomo ejercicio para el estudiante.
Interpretación geométrica de esta propiedad:


Propiedad 10

Sea una variable real y un número real positivo entonces:
i.

 
 
ii.

Demostración

Unprocedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8.
Dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.
Interpretación geométrica de...