Propiedades fundamentales del valor absoluto

En matemática, "el valor absoluto" o módulo de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.

El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los números reales, cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.

"Valor absoluto de un número real "

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real a está definido por:

[pic]

Propiedades Del Valor Absoluto

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número es su valor numérico sintener en cuenta su signo ya sea este positivo (+) o negativo (-) como por ejemplo 3 es el valor absoluto para 3 y para -3.

Formalmente el valor absoluto de todo numero real   esta definido por:

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

Ahora mencionaremos algunas de las propiedades del valor absoluto:

1º Propiedad multiplicativa

Nos dice que “El valor absoluto de un producto es iguala el producto de los valores absolutos

2º Preservación de la division (equivalente a la propiedad multiplicativa)

  Nos dice que “El valor absoluto de un cociente es igual a el cociente de los valores absolutos solo si el denominador no es cero”

3º Propiedad de la simetria

Nos dice que “El valor absoluto del opuesto de un numero es igual a el valor absoluto del numero”

4ºDefinicion positiva

Nos dice que “El unico numero que su valor es 0 es el mismo 0”

5º No negatividad

Nos dice que “El valor absoluto de cualquier numero nunca va a dar negativo”

6º Identidad de Indescernibles

Nos dice que “Cuando el valor absoluto de una adicion de dos numeros es 0 entonces o bien   y   son el mismo numero o son opuestos uno del otro”.

7º Propiedadaditiva

Nos dice que “El valor absoluto de una suma de dos numero es menor o igual a la sumas de los valores absolutos”.

8º Equivalente a la propiedad aditiva

Nos dice que “El valor absoluto de una resta de dos numeros es mayor o igual a el valor absoluto de la resta de   los valores absolutos”.

9º Desigualdad triangular

Nos dice que “El valor absoluto de una resta de dosnumeros es menor o igual a el valor absoluto de la resta de el primer numero menos el tercero mas el valor absoluto de la resta de el tercero menos el segundo”

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Valor absoluto de unnúmero real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

[pic]

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2< x < 2        x [pic](−2, 2 )

|x|> 2            x< −2 ó x>2     (−∞ , −2) [pic](2, +∞)|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x a $}

La última propiedad se acostumbra escribir
v) $ \hspace{10} x < -a \hspace{5} o \hspace{5} x > a $}
pero la escribimos de la otra forma para que sea más fácil de recordar, pero hay que tener en cuenta que el caso (iv) es una desigualdad doble y por lo tanto una intersección entre las dos desigualdades simples y en (v)aparecen dos desigualdades con la disyunción y por lo tanto es una unión.

Observando la definición debemos recordar que ?x representa el inverso aditivo de x y no necesariamente es un número negativo.

Ejemplo Resolver la ecuación |5x+1| = 4
Solución.

5x+1 = 4 ó 5x+1 = −4, por lo que
x = 1 ó x = −3/5, una sustitución directa nos indica que el conjunto solución es S = {−3/5,...