Propiedades Geométricas Del Espacio-Tiempo
Páginas: 4 (852 palabras)
Publicado: 4 de julio de 2012
Propiedades geométricas del espacio-tiempo
Métrica
En la teoría de la relatividad general el espacio-tiempo se modeliza como un par (M, g) donde M es una variedad diferenciable semiriemannianatambién conocida banda lorentziana y g es un tensor métrico de signatura (3,1). Fijado un sistema de coordenadas (x0, x1, x², x³, ) para una región del espacio-tiempo el tensor métrico se puedeexpresar como:
g = \sum_{i,j=1}^n g_{ij} \ dx^i \otimes dx^j \,
Y para todo punto del espacio-tiempo existe un observador galileano tal que en ese punto el tensor métrico tiene las siguientescomponentes:
(g_{ij})_{i,j=0}^3 = \begin{pmatrix} g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\ g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\ g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23} \\ g_{30} & g_{31} & g_{32} &g_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & & & \\ & +1 & & \\ & & +1 & \\ & & & +1 \end{pmatrix}
Contenido material del espacio-tiempo
El contenido material de dicho universo viene dado por eltensor energía-impulso que puede ser calculado directamente a partir de magnitudes geométricas derivadas del tensor métrico. Las ecuaciones escritas componente a componente relacionan el tensor energíaimpulso con el tensor de curvatura de Ricci y las componentes del propio tensor métrico:
T_{ik} = \frac{c^4}{8\pi G} \left [R_{ik} - \left(\frac{g_{ik} R}{2}\right) + \Lambda g_{ik} \right ]La ecuación anterior expresa que el contenido material determina la curvatura del espacio-tiempo.
Movimiento de las partículas
Una partícula puntual que se mueve a través del espacio-tiempo seguiráuna línea geodésica que son la generalización de las curvas de mínima longitud en un espacio curvado. Estas líneas vienen dadas por la ecuación:
\frac{d^2 x^\mu}{dt^2} + \sum_{\sigma,\nu}\Gamma_{\sigma \nu}^{\mu} \frac{dx^\sigma}{dt}\frac{dx^\nu}{dt} = 0
Donde los símbolos de Christoffel Γ se calculan a partir de las derivadas del tensor métrico g y el tensor inverso del tensor...
Métrica
En la teoría de la relatividad general el espacio-tiempo se modeliza como un par (M, g) donde M es una variedad diferenciable semiriemannianatambién conocida banda lorentziana y g es un tensor métrico de signatura (3,1). Fijado un sistema de coordenadas (x0, x1, x², x³, ) para una región del espacio-tiempo el tensor métrico se puedeexpresar como:
g = \sum_{i,j=1}^n g_{ij} \ dx^i \otimes dx^j \,
Y para todo punto del espacio-tiempo existe un observador galileano tal que en ese punto el tensor métrico tiene las siguientescomponentes:
(g_{ij})_{i,j=0}^3 = \begin{pmatrix} g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\ g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\ g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23} \\ g_{30} & g_{31} & g_{32} &g_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & & & \\ & +1 & & \\ & & +1 & \\ & & & +1 \end{pmatrix}
Contenido material del espacio-tiempo
El contenido material de dicho universo viene dado por eltensor energía-impulso que puede ser calculado directamente a partir de magnitudes geométricas derivadas del tensor métrico. Las ecuaciones escritas componente a componente relacionan el tensor energíaimpulso con el tensor de curvatura de Ricci y las componentes del propio tensor métrico:
T_{ik} = \frac{c^4}{8\pi G} \left [R_{ik} - \left(\frac{g_{ik} R}{2}\right) + \Lambda g_{ik} \right ]La ecuación anterior expresa que el contenido material determina la curvatura del espacio-tiempo.
Movimiento de las partículas
Una partícula puntual que se mueve a través del espacio-tiempo seguiráuna línea geodésica que son la generalización de las curvas de mínima longitud en un espacio curvado. Estas líneas vienen dadas por la ecuación:
\frac{d^2 x^\mu}{dt^2} + \sum_{\sigma,\nu}\Gamma_{\sigma \nu}^{\mu} \frac{dx^\sigma}{dt}\frac{dx^\nu}{dt} = 0
Donde los símbolos de Christoffel Γ se calculan a partir de las derivadas del tensor métrico g y el tensor inverso del tensor...
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