Propiedades Y Teoremas De Diagramas De Bloques

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Control Automático I

SEGUNDO CAPÍTULO FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 2.1 DEFINICIONES a) Sistema Continuo

Figura 2.1 Sistema continuo Es aquel sistema donde la relación entre la salida y(t) y la entrada u(t) es una ecuación diferencial:

 ai y (i ) (t )  biu (i ) (t )
i 0 i0

n

m

Al aplicar la transformada de Laplace a esta ecuación se tiene:

 n  m L  ai y ( i ) (t )   L  bi u ( i ) (t )   i 0   i 0 

 a L y
n i 0 n i

(i )

(t )   bi L u (i ) (t )
m i 0 i 1 i  k 1

i 1  m   y ( k ) (0 )    bi  s iU ( s)   s i  k 1u ( k ) (0 )  i 0 k 0 k 0  i 0   n m m i 1 n i 1      ai siY ( s)     sik 1 y ( k ) (0 )    bi siU (s)     si k 1u ( k ) (0 )  i 0  k 0 i 0 i 0 k 0  i 0 

 a  s Y (s)   s 
i i



despejando Y(s):

Y ( s) 

 bi siU (s)
i 0

m

 ai si
i 0

n

 i 1 i  k 1 ( k )   m  i 1 i  k 1 ( k )      s y (0 )     s u (0 )    i 0  k 0   i 0  k 0
n

 ai si
i 0

n

a s
i 0 i

n

i

entonces, como puede verse la respuesta de un sistema dinámico continuo puededescomponerse en dos partes   Respuesta de estado cero: Es la primera parte de la ecuación. Depende de la entrada U(s) y es la respuesta que tiene el sistema si las condiciones iniciales son cero Respuesta de entrada cero: Es la segunda parte de la ecuación. Depende de las condiciones iniciales y no de la entrada U(s); es la respuesta que tiene el sistema si la entrada es cero

En el caso de los sistemasde control continuos siempre se asumen condiciones iniciales nulas. b) Sistemas discretos

Ing. Lucy Delgado Barra

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Figura 2.2 Sistema discreto Supóngase un sistema dinámico lineal discreto (las señales son señales muestreadas, medidas a intervalos de tiempo), cuya relación entre la entrada u(k) y la salida y(k) está descrita por la siguienteecuación de diferencias:

 ai y(k  i)  biu (k  i)
i 0 i 0

n

m

Al aplicar la transformada Z a esta ecuación se tiene:

 n  m  Z  ai y (k  i)   Z  bi u (k  i )   i 0   i 0 

 ai Z  y(k  i)   bi Z u(k  i)
i 0 n i 0

n

m

 a  z Y ( z)   z
i i 0 n i

 

i 1

i j

j 0

i 1  m   y ( j )    bi  z iU ( z )   z i  j u( j )  j 0  i 0   i j m  i 1  m  y ( j )    bi z iU ( z )     z i  j u ( j )  i 0  j 0  i 0 

 a z Y ( z)     z
i i 0 i i 0

n

 i 1

 j 0

Despejando Y(z):

Y ( z) 

 bi z iU ( z )
i 0

m

 ai z i
i 0

n

 i 1 i  j  m  i 1 i  j    z y( j)     z u( j)   j 0 i 0   i 0  j 0   
n

 ai z i
i 0

n

az
i 0 i

n

i

de forma semejante al caso continuo, la ecuación muestra que la respuesta de un sistema dinámico discreto puede descomponerse en dos partes:  Respuesta de estado cero: Es la primera parte dela ecuación. Depende de la entrada U(z) y no de las condiciones iniciales; es la respuesta que tiene el sistema si las condiciones iniciales son cero Respuesta de entrada cero: Es lasegunda parte dela ecuación. Depende de las condiciones iniciales y no de la entrada U(z), es la respuesta que tiene el sistema si la entrada es cero.



En el caso de los sistemas de control discretos siempre se asumen condiciones iniciales nulas.

c) Función de transferencia Se define la función de transferencia de un sistema continuo o discreto como la relación en entre salida y entradacon condiciones iniciales nulas

Ing. Lucy Delgado Barra

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F (s) 

Y (s) U ( s ) C . I . 0

F ( z) 

Y ( z) U ( z ) C . I . 0

La fu unción de tran nsferencia se para los casos contin y discreto respectivam erá, nuo o, mente:

F (s) 
Las e expresiones

 bi s i a s
i 0 i i 0 n i

m

F ( z) 

b z a z
i 0 i i...