Propiedades Y Teorias De Continuidad

PROPIEDADES Y TEORIAS DE CONTINUIDAD
Propiedades de continuidad

Si b es un número real y f, g son continuas en x = c, entonces:

1) bf es continua en c (múltiplo escalar)

2) f g escontinua en x = c ( suma o diferencia)

3) fg es continua en x = c ( producto)

4) es continua en x = c si g(c) 0 ( cociente)

Funciones continuas en su dominio:

1) Funcionespolinomiales

2) Funciones racionales

3) Funciones radicales

4) Funciones trigonométricas

Teorema-Función compuesta

Si g es continua en c y f es continua en g(c) , entonces ( f o g)(x) = f(g(x)) es continua en x = c.

Continuidad en un intervalo.
Definición
Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.
Una función es continua enun intervalo cerrado [a,b] si lo es en cada uno de los puntos de (a,b) y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.
Ejemplos
1.- ¿Es la función f(x)=x2 continua en el intervalo(-1,1)? ¿Y en el intervalo [-3,4]?
2.- ¿Es la función continua en el intervalo [-1,1]?
3.- Estudiar la continuidad de la función en el intervalo [0,1]
4.- Hallar los puntos de discontinuidad dela función
5.- Propiedades de la continuidad en un intervalo.
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], tiene máximo y mínimo en ese intervalo. Es decir f continua en [a,b]Teorema de Bolzano
Si una función es continua en un intervalo [a,b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que
f(c)=0.Corolario
Si una función es continua en el intervalo [a,b] y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en [a,b] tal que f(c)=k

Teorema de Darboux o delvalor intermedio
Si una función es continua en el intervalo [a,b], la función toma en ese intervalo todos los valores comprendidos entre el máximo y el mínimo.

La imagen de un intervalo cerrado...