Proporcionalidad directa e inversa

Proporcionalidad: directa e inversa |
 
Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razón.
Razón y proporción numérica
Razón entre dos números
Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.
Entonces:
Razón entre dos números a y b es elcociente entre     | |

Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que     | |

Y la razón entre los números 0,15  y  0,3  es       | |
 
Proporción numérica
Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica.
Entonces:
Los números a, b, c y d forman una proporción si la razónentre a y b es la misma que entre c y d. |
Es decir     | |
Se lee “a es a b como c es a d” |
 
Los números 2,  5  y  8,  20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.
 
Es decir     | |

En la proporción | | hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios. |
 
La propiedad fundamental de las proporciones es:en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios. |
 
Así, en la proporción anterior     | |
 se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40
 
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Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos:
Las dosmagnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y viceversa.
Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales.
Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad,hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales. |
 
Ejemplo
Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de papas  pesa 520 kg¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?
Número de sacos | 1 | 2 | 3 | ... | 26 | ... |
Peso en kg | 20 | 40 | 60 | ... | 520 | ... |
 
Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
 
Observa que     | |
 
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar denúmero de sacos a kg es 20.
 Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver un gran cantidad de problemas matemáticos.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Ejemplo 1
En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?
Como en doble cantidad de aguade mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:
Litros de agua | 50 | x |
Gramos de sal | 1.300 | 5.200 |

Se verifica la proporción:     | |
 
Y como en toda proporción el producto demedios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:
50 por 5.200 = 1.300 por x
 
Es decir         | |
 
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

 
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa. |
 
Ver: PSU: Matemática;...