Proporcionalidad en la circunferencia


Proporcionalidad en la circunferencia:
Objetivo: Conocer y aplicar la proporcionalidad en circunferencias y sus teoremas en ejercicios tipo PSU.

Proporcionalmente iguales:
En Geometría,diremos que dos figuras son semejantes (∼) si y sólo si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, ˜ es decir, una corresponde a una”ampliación “de la otra. Por lo que deducimos quetodas las circunferencias son semejantes entre sí.
En las circunferencias se presentan situaciones donde se produce proporcionalidad de trazos, las cuales es posible estudiar mediante cuatro teoremas:Teoremas de las cuerdas: Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de segmentosdeterminados en la otra.


Ejemplo: En la circunferencia de centro O, y son cuerdas que se intersecan en P. Si , y , entonces mide:



Teorema de las secantes: Si desde un punto exterior a unacircunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior.


Ejemplo: En la figura, y son secantes a lacircunferencia de centro O. Si , y, entonces mide:









Teorema de tangentes: Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes, las longitudes de ambas tangentesson iguales.

Ejemplo: En la figura, y son tangentes a la circunferencia de centro O. Si entonces mide:

Teorema de la tangente y secante: Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazanuna tangente y una secante, la longitud de la tangente es el producto entre la longitud de la secante y su segmento exterior.




Ejemplo: En la circunferencia de centro O, es tangente en N yes secante. Si y , entonces la tangentemide:



Ejercicios:
1. En la figura, y son secantes a la circunferencia de centro O. Si = = 14 y
= 8, entonces es igual a:

a) 8
b) 14
c) 20...