proporcionalidad

Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razón.

Razón y proporción numérica

Razón entre dos números

Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.

Entonces:



Razón entre dos números a y b es el cociente entreproporcionalidad001




Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que
proporcionalidad002



Y la razón entre los números 0,15 y 0,3 es

proporcionalidad003




Proporción numérica

Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica.

Entonces:

Losnúmeros a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.

Es decir
proporcionalidad004
Se lee “a es a b como c es a d”



Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.




Es decir

proporcionalidad005



En la proporción proporcionalidad004 hay cuatrotérminos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.




La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.





Así, en la proporción anterior
proporcionalida005

se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40




proporcionalidad006Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos:

Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y viceversa.

Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar enigual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales.

Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES


Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda,entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.




Ejemplo

Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?

Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?


Número de sacos

1

2

3

...

26

...


Peso en kg

20

40

60

...

520

...




Para pasar de la 1ª fila a la 2ª bastamultiplicar por 20

Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20




Observa que
proporcionalidad008



Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.

Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y quenos servirá para resolver un gran cantidad de problemas matemáticos.

PSU: Matemática;

Pregunta 07_2006

Pregunta 06_2007



REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Ejemplo 1

En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?

Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc.Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.

Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:



Litros de agua

50

x


Gramos de sal

1.300

5.200





Se verifica la proporción:
proporcionalida009



Y como en toda proporción el producto de medios es...