Proporciones

Prueba de una Proporción

UN POLÍTICO PUEDE ESTAR INTERESADO EN CONOCER SI HA HABIDO UN AUMENTO EN LA PROPORCIÓN (PORCENTAJE) DE VOTANTES QUE LO FAVORECEN EN LAS PRÓXIMAS ELECCIONES; UNA PRODUCTOR DE CEREALES PUEDE QUERER CONOCER SI HA OCURRIDO O NO UNA BAJA EN LA PROPORCIÓN DE CLIENTES QUE PREFIEREN SU MARCA DE CEREAL; UN HOSPITAL DESEA CONFIRMAR EL RECLAMO DE UN MANUFACTURERO DEMEDICAMENTOS QUIEN AFIRMA ÉSTE CURA AL 80% DE LOS USUARIOS. ESTOS EJEMPLOS SON ALGUNAS DE LAS SITUACIONES DONDE NOS INTERESA PROBAR ALGUNA AFIRMACIÓN REFERENTE A UNA PROPORCIÓN. EL PROCEDIMIENTO PARA PROBAR UNA PROPORCIÓN EN UNA POBLACIÓN NORMAL ES CASI IGUAL AL USADO PARA LAS MEDIAS.

¿Cómo probar una proporción?
Podemos usar cualquiera de los siguientes:
1. Método de laregión de rechazo ó
2. Método del valor P

A. Método de la Región de Rechazo

Digamos que po es la proporción aceptada o reclamada.

Paso 1 Establezca las hipótesis. Ho : p = po
H1 : p > po ó
p < po ó
p ≠ po

Paso 2 Use el nivel de significancia (α) y dibuje la región derechazo en la curva normal estándar (curva z).

ó ó

(H1 : μ > μo) (H1 : μ < μo) (H1 : μ ≠ μo)

Paso 3 Calcule el valor z para la proporción muestral[pic]usando la fórmula
Z =[pic], [pic]

Paso 4 Dibuje este valor de z en el diagrama de la región de rechazo (Paso 2).

Paso 5 Si el valor z cae dentro de laregión de rechazo (sombreada), entonces rechace Ho. Si cae fuera de la región sombreada, entonces no rechace Ho.

Paso 6 Escriba la conclusión de la prueba.

Ejemplo 1: Prueba la hipótesis H0 : p = 0.4
H1 : p ≠ 0.4
Presuma que = 0.45, n = 200, y α = .01.
Solución:
Paso 1 H0 : p = 0.4
H1 : p ≠ 0.4Paso 2 Usando α = .01, el diagrama de la región de rechazo es:

Paso 3 Calculando el valor z para la proporción muestral [pic] = 0.45), obtenemos:
[pic]
Z =[pic]
Paso 4 Dibujando z = 1.45 en el diagrama de la región de rechazo (Paso 2) obtenemos:

Paso 5 Como el valor z está fuera de la región de rechazo(sombreada), por lo tanto no rechazamos Ho.

Paso 6 La proporción en la población es 0.4.

B. Método del Valor P

Dejemos que p0 sea la proporción aceptada o reclamada.

Paso 1 Establezca las hipótesis: H0 : p = p0
H1 : p > p0 ó
p < p0 ó
p ≠ p0

Paso 2 Calcule elvalor z para la proporción muestral [pic] usando la fórmula:
Z =[pic], donde [pic] .

Paso 3 Usando la hipótesis alterna dibuja la región bajo la curva z que representa los valores extremos.

ó ó

(H1 : μ > μo) (H1 : μ < μo) (H1 : μ ≠ μo)

Paso 4 El valor P = al área de la cola sombreada (s) en el Paso 3.Paso 5 Si el valor P < α, entonces rechaza H0
Si el valor P ≥ α, entonces no rechaces H0.

Paso 6 Escribe la conclusión de la prueba.

Ejemplo 1: Pruebe la hipótesis H0 : p = 0.4
H1 : p ≠ 0.4
Presuma que = 0.45, n = 200, y α = 0.01.

Solución:
Paso 1 H0 : p = 0.4
H1 : p ≠ 0.4Paso 2 Calculando el valor z de [pic] , obtenemos
[pic]
Z =[pic]

Paso 3 La región bajo la curva z que contiene los valores extremos de es

Paso 4 El valor P = suma de las áreas de las regiones sombreadas en el Paso 3.
= 2(el área a la derecha de 1.45)
= 2(0.5 – .4265)...