Proporciones

Proporciones
Una proporcion es una igualdad entre dos razones equivalentes.1
1Dos razones aritmeticas son equivalentes si la diferencia entre sus antecedentes y consecuentes son respectivamente
iguales.
Dos razones geometricas son equivalentes si el cuociente entre sus antecedentes y consecuentes son respectivamente
iguales
Matematica P. Paredes
M. Ramrez 25
2. Proporcionalidad2.2.1. Proporcion Aritmetica
Es la igualacion de dos razones aritmeticas equivalentes. A la diferencia entre las razones
involucradas se la llama constante de proporcionalidad aritmetica.
Este tipo de proporcion no es particularmente importante, es por esto que no le dedicaremos
mas paginas de estudio.
2.2.2. Proporcion Geometrica
Una proporcion geometrica (o simplementeproporcion), es la igualacion de dos razones geom
etricas equivalentes. En una proporcion podemos distinguir sus partes por distintos nombres,
estan los extremos, que son el antecedente de la primera razon y el consecuente de la segunda,
y los medios, que son el consecuente de la primera razon y el antecedente de la segunda.
Otra forma, ademas de la equivalencia entre razones, de comprobar si unaproporcion realmente
lo es, es vericar que el producto entre los extremos sea igual al producto entre los medios
es decir:
a : b = c : d , a
d = b
c
Ejemplos :
 3 : 2 = 9 : 6 es una proporcion, pues 3
6 = 2
9
 4 : 3 = 5 : 2 NO es una proporcion, pues 4
2 6= 3
5
Con esta ultima propiedad podemos resolver ejercicios para determinar algunos de los elementos
de unaproporcion. Por ejemplo:
 Dada la proporcion 7 : 3 = 21 : x, determinemos el valor de x utilizando la igualacion
entre el producto de medios y extremos:
7 : 3 = 21 : x ) 7
x = 3
21 ) 7

1
7
x = 3
21

1
7
) 1
x =
3
21
7
) x = 9
| Actividad 2.1.
Encuentra el termino que falta en las siguientes proporciones:
1. 3 : 5 = 4 : x 6. 144
56 = x
14 11. 4
x = x
36
2. 2 : x = 5 :10 7. 3 : x = x : 12 12. 12
3 = x
12
3. 5
9 = x
18 8. x : 16 = 4 : x 13. x
9 = 1
x
4. 9 : 25 = x : 5 9. 9
345 = 3
x 14. 3
9 = 9
x
5. 23
41 = x
123 10. 72 : 9 = 24 : x 15. x : 8 = 32 : x
26 P. Paredes
M. Ramrez Prueba de Seleccion Universitaria
2.2. Proporciones
2.2.3. Proporcionalidad Directa
Hasta ahora solo hemos trabajado con este tipo de proporcionalidades, ya que dosmagnitudes
son directamente proporcionales si multiplicando o dividiendo una de ellas por un numero la
otra queda multiplicada o dividida por el mismo numero, que es precisamente el caso de las
proporciones que hemos visto.
Tambien decimos que dos cantidades a y b son directamente proporcionales si su cuociente
es constante, es decir:
a
b
= k; Con k constante
Ejemplo :
 Si paracomprar dos kilogramos de pan necesitas $1.300, >Cuanto dinero necesitas para
comprar 5 kilogramos de pan?
Respuesta :
Nos podemos dar cuenta que el ejemplo es sobre una proporcionalidad directa ya que si
aumenta la cantidad de kilogramos de pan, entonces aumenta el dinero. Por lo tanto se debe
cumplir que:
Dinero
Kilos
= k )
$1.300
2
= x
5
) 2
x = 5
$1.300
) x =
$6.500
2
= $3.250Y as puedes vericar que para cualquier cantidad de kilos de pan con el dinero que necesites
para comprarlo tendran un cuociente constante. En este caso ese cuociente (k) es igual a 1;300 :
2 = 650.
Una forma de representar dos cantidades que son directamente proporcionales es a traves
de un graco, graquemos el mismo ejemplo anterior, es decir, unamos los puntos 2 con 1300, 4
con2600, 6 con 3900, etc.
Siempre dos cantidades directamente proporcionales al ser gracadas representaran una recta
que pasa por el (0,0) u origen.
Matematica P. Paredes
M. Ramrez 27
2. Proporcionalidad
2.2.4. Proporcionalidad Inversa
Dos cantidades tienen proporcionalidad inversa si al multiplicar una de ellas por un numero
la otra queda dividida por ese mismo numero y viceversa....