Proposiciones Logicas

Docente: Eva Patricia Vásquez Gómez 1 Lógica Proposicional

CAPITULO I 1.1 LOGICA Las reglas de la lógica le dan un significado preciso a los enunciados matemáticos o sentencias matemáticas. Estas reglas se usan para distinguir entre argumentos válidos y no válidos. Además de su importancia en el razonamiento matemático, la lógica tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación. Lasreglas de la lógica se usan en el diseño de circuitos de computador, la construcción de programas informáticos, la verificación de que un programa está bien construido y en muchas otras aplicaciones. Cada una de ellas las iremos viendo a lo largo del semestre. PROPOSICIONES Comenzaremos con una introducción a la construcción de los bloques básicos de la lógica: las proposiciones. Una proposiciónes una oración declarativa que es correcta o falsa, pero no ambas a la vez. EJEMPLO 1 Todas las siguientes oraciones declarativas son proposiciones: 1. Bogotá es la capital de Colombia. 2. Nueva York es la capital de Estados Unidos. 3. 1+1=2 4. 2+2=3 Las proposiciones 1 y 3 son correctas, mientras que la 2 y 4 son falsas. EJEMPLO 2 Considera las siguientes oraciones: 1. Que hora es? 2. Lee esto conatención 3. X+1=2 4. X+y=z Las frases 1 y 2 no son proposiciones porque no son declarativas. Las frases 3 y 4 no son proposiciones porque no son ni verdaderas ni falsas, ya que no se les han asignado valores a las variables.

Docente: Eva Patricia Vásquez Gómez 2 Lógica Proposicional

Para denotar proposiciones usamos letras, al igual que usamos letras para denotar variables. Por convenio,las letras que se utilizan para denotar proposiciones son p, q, r, s, … El valor de verdad de una proposición es verdadero, y se denota por V, si es una proposición verdadera, o falso, denotado por F, si es una proposición falsa. El área de la lógica que trata de proposiciones se llama cálculo proposicional o lógica proposicional. Fue desarrollada por primera vez por el filósofo griego Aristóteleshace más de dos mil trescientos años. Podemos producir proposiciones nuevas a partir de las ya existentes. Las nuevas proposiciones, llamadas fórmulas o proposiciones compuestas, se forman a partir de la existentes usando operadores lógicos. DEFINICIÓN 1 Sea p una proposición, El enunciado “No se cumple p” Es otra proposición, llamada negación de p. La negación de p se denota mediante ¬p. Laproposición ¬p se lee “no p”. EJEMPLO 3 Obtén la negación del enunciado “Hoy es sábado” y exprésala del modo más simple posible. Solución: La negación es “No se cumple que hoy es Sábado”. Esta negación se puede expresar más simplemente por “Hoy no es Sábado” o “No es sábado hoy”. Una tabla de verdad muestra las relaciones entre los valores de verdad de proposiciones. Las tablas de verdad sonespecialmente valiosas a la hora de determinar los valores de verdad de proposiciones construidas a partir de proposiciones más simples. La Tabla 1 muestra los dos posibles valores de verdad de una proposición p y los correspondientes valores de verdad de su negación ¬p.
Tabla 1.La tabla de verdad para la negación de una proposición

P

¬p

Docente: Eva Patricia Vásquez Gómez 3 Lógica ProposicionalV F

F V

La negación de una proposición se puede considerar como el resultado de aplicar el operador negación sobre una proposición. El operador negación construye una nueva proposición a partir de la proposición individual existente. Ahora veremos los operadores lógicos que se usan para formar nuevas proposiciones a partir de dos o más proposiciones ya creadas. Esos operadores lógicos sellaman también conectivos lógicos. DEFINICIÓN 2 Sean p y q proposiciones. La proposición «p y q», denotada por p Λ q, es la proposición que es verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y falsa en cualquier otro caso. La proposición p Λ q se llama conjunción de p y q.

La tabla de verdad para p Λ q se muestra en la Tabla 2. Observa que hay cuatro filas en esta tabla de verdad, una fila por...