proposiciones

Álgebra proposicional
Introducción
El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje
determinado (oral, escrito, etc.) por medio de frases u oraciones. Estas pueden tener diferentes
significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas. Lo importante en el
presente estudio es que, a partir de los enunciados y de acuerdo a susignificado es posible establecer
una proposición y a partir de un conjunto de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia.
Proposición
La proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les
puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que pueden ser:
VERDADERO (V) o FALSO (F)
En resumen, podemos dar la siguiente definición:Proposición es toda oración declarativa.
Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es
decir, p, q, r, s, t, ... etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de
verdad:
p : 15 + 5 = 21 (F)
q: Santa Fe es una provincia Argentina. (V)
r: El número 15 es divisible por 3. (V)
s: El perro es un ave. (F)
Expresiones NoProposicionales
Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a
los exclamativos, interrogativos o imperativos.
Así tenemos, por ejemplo:
– ¿Cómo te llamas?
– Prohibido pasar
– Borra el pizarrón.
Clasificación de las Proposiciones
Aquellas proposiciones que constan o se les puede representar por una sola variable, se llaman
proposiciones simples oatómicas. Por ejemplo, sea la proposición "p: 3 + 6 = 9" es una proposición
simple o atómica.
Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición
compuesta o molecular. Así, por ejemplo:
Pitágoras era Griego y era Geometra

p

q

encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q)
que Pitágoras era geómetra.

Notación yConectivos Lógicos
A partir de proposiciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se
puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos.
A continuación vemos una concreta definición de cada uno:
Símbolo

~
∧
∨
⇒
⇔

Operación asociada

Significado

Negación
Conjunción o producto lógico
Disyunción o suma lógicaImplicación
Doble implicación

no p o no es cierto que p
pyq
p o q (en sentido incluyente)
p implica q, o si p entonces q
p si y sólo si q

Operaciones Proposicionales
Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más
proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición
resultante a través de su valor de verdad. A talefecto, estudiaremos a continuación el uso y
significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba:
Negación
Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~ p (se lee
"no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo:
p: Diego estudia matemática
~ p: Diego no estudia matemática
Por lo que nos resulta sencillo construir sutabla de verdad:
p

~p

V

F

F

V

Observamos aquí que al valor V de p, la negación le hace corresponder el valor F, y viceversa.
Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su
negación.
Ejemplo: La negación de " p: todos los alumnos estudian matemática" es
~ p: no todos los alumnos estudian matemática
o bien:
~ p: no es cierto que todos los alumnosestudian matemática
~ p: hay alumnos que no estudian matemática

Conjunción
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p ∧
q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:
p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos
proposiciones componentes. En...