PROPUESTAS DE RESUMEN DE TECNICAS DE INTEGRACIÓN2012

Ejercicios con soluciones sobre límites de
funciones de varias variables
7 de noviembre de 2012
Problema. Hallar el límite, si existe, o demostrar que el límite no existe.
1.

x2 − y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2

14.

2.

xy
2 + y2
(x,y)→(0,0) x

2x3 − x2 + y
15.
l´
ım
(x,y)→(0,0) x3 − x2 + y

l´
ım

l´
ım

y=x2 −x3

2

3.
4.
5.

(x,y)→(0,0) x2

xy
+ y4

16.5x2 y
(x,y)→(1,2) x2 + y 2

3x2 y
(x,y)→(0,0) x2 + y 2

17.

5x2 y
(x,y)→(0,0) x2 + y 2

l´
ım
l´
ım

l´
ım

l´
ım
l´
ım

x5 + 4x3 y − 5xy 2

l´
ım
(x,y)→(5,−2)

6.

x3 y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
l´
ım

18.

l´
ım
(x,y)→(0,0)

xy cos(x − 2y).

(x,y)→(6,3)

19.

2

7.
8.
9.
10.
11.

(x,y)→(0,0)

x
2 + y2
(x,y)→(0,0) x
l´
ım

(x + y)2(x,y)→(0,0) x2 + y 2

21.

8x2 y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 4
22.

x3 + xy 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
l´
ım

l´
ım

(x,y)→(0,0) x2

x2 + y 2

x−y
(x,y)→(0,0) x + y
l´
ım

y=−x

l´
ım

l´
ım

−x

x4 − y 2
20.
l´
ım
(x,y)→(0,0) x4 + y 2

l´
ım

(x,y)→(0,0)

12.

l´
ım

x2 − y 2
x2 + y 2

x2 + y
(x,y)→(0,0)
y
l´
ım
y=0

x4
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
xy24.
l´
ım
(x,y)→(0,0) |xy|

xy

23.

x2 + y 2
xy + 1
+ y2 + 1

l´
ım

xy=0

2x2 y
13.
l´
ım
(x,y)→(0,0) x4 + y 2

25.

x+y
(x,y)→(0,0) x − y
l´
ım
y=x

1

2

Matemáticas I

26.

Grado en Química

x2
(x,y)→(0,0) x2 − y 2
l´
ım

40.

Límites dobles (Ejercicios)

l´
ım

(x,y)→(0,0) x2

xy
+ y4

y=±x

x+y
27.
l´
ım
(x,y)→(0,0) 2 + cos x41.

4x3
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
l´
ım

28.

x
√
(x,y)→(0,4)
y

x2 y 4
42.
l´
ım
(x,y)→(0,0) x2 + y 4 + (x − y 2 )2

29.

x2 − 2xy + y 2
(x,y)→(1,1)
x−y

43.

l´
ım
l´
ım
y=x

30.

xy − y + 2x + 2
(x,y)→(1,1)
x−1
l´
ım
x=1

31.

tan x sen y
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
l´
ım

x2
44.
l´
ım
(x,y)→(0,1) y − 1
y=1

x2 − y 2
(x,y)→(1,1) x − y
l´
ım45.

l´
ım

x2 sen(x2 + y 2 )

(x,y)→(0,0)

y=x

√
32.

l´
ım
(x,y)→(2,0)
y=2x+4

2x − y − 2
2x − y − 4

√
√
x−y+2 x−2 y
√
33.
l´
ım
√
(x,y)→(0,0)
x− y

46.

x2 − y 4
(x,y)→(0,0) x2 + y 4

47.

x2 y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 4

48.

y2z
(x,y,z)→(0,0,0) x2 + y 2 + z 2

49.

x2 + y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 + (x − y)2

50.

x2 y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y2 + (x − y)2

51.

sen(xy)
(x,y)→(0,0)
x

y=x

√

√
34.

l´
ım
(x,y)→(4,3)
y=x−1

35.

x− y+1
x−y−1

x+y−4
√
(x,y)→(2,2)
x+y−2
l´
ım

y=−x+4

36.

x3
(x,y)→(0,0) x2 + y 2

l´
ım

l´
ım

l´
ım

l´
ım

l´
ım

l´
ım

xy
37.
l´
ım
2 + y2
(x,y)→(0,0) x

l´
ım
x=0

38.

xy 3
(x,y)→(0,0) x2 + y 6

x2 + y 2
52.
l´
ım
(x,y)→(0,0)x2 + y 4

39.

xy − x + y
(x,y)→(0,0)
x+y

53.

l´
ım
l´
ım

y=−x

x2 − y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
l´
ım

Resultados.
1.
2.

x2 − y 2
no existe (los reiterados no coinciden).
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
l´
ım
l´
ım

(x,y)→(0,0) x2

xy
no existe (considerar la dirección y = x).
+ y2

Dpto. de Análisis Matemático

—2—

Curso 2012/13

Matemáticas I

Grado enQuímica

3.

xy 2
no existe (considerar la dirección y = x2 ).
(x,y)→(0,0) x2 + y 4

4.

Límites dobles (Ejercicios)

3x2 y
= 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2

5.

l´
ım
l´
ım

x5 + 4x3 y − 5xy 2 = 2025.

l´
ım
(x,y)→(5,−2)

6.

l´
ım

xy cos(x − 2y) = 0.

(x,y)→(6,3)

7.

x2
no existe (los reiterados no coinciden).
(x,y)→(0,0) x2 + y 2

8.

(x + y)2
no existe(considerar la dirección y = mx).
(x,y)→(0,0) x2 + y 2

9.

8x2 y 2
= 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 4

10.

x3 + xy 2
= 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2

11.

l´
ım

l´
ım

l´
ım

l´
ım

l´
ım
(x,y)→(0,0)

xy
x2 + y 2

= 0.

12.

xy + 1
= 1.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 1

13.

2x2 y
no existe (considerar la dirección y = m x2 ).
(x,y)→(0,0) x4 + y 2

14.

x3 y 2
=...