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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
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EJERCICIOS ALGEBRA LINEAL
1. En el e.v. C[0, π], dotado del producto interno (f ; g) =
Considere el conjunto

π
0

f(x)g(x)dx.

S = {sin(nx), cos(nx); n = 1, 2, 3, . . .}
Determinar el mayor subconjunto de S que sea ortogonal. Calcular
norma de cada elemento de S.
2. Considere el espacio Euclideo R2 y la basecan´nica B = {(1, 0), (0, 1)}.
o
Determinar cuales de las siguientes funciones R2 → R2 es una transformaci´n lineal. En caso de serlo, hallar: el rango, el kernel y la matriz
o
asociada.
T (x, y)= (y, x)
T (x, y) = (x, −y)
T (x, y) = (x, 1)
T (x, y) = (x2 , y 2 )
T (x, y) = (x − y, x + y)
T (x, y) = (2x − y, x + y)
T (x, y) = (y + 1, x + 1)
3. Determine cu´les de las siguientestransformaciones lineales en R3 son
a
inyectivas. Determine la matriz asociada usando la base can´nica, y si
o
−1
es posible encuentre T .
T (x, y, z) = (z, y, x)
T (x, y, z) = (x, y, 0)
T (x,y, z) = (x, 2y, 3z)
T (x, y, z) = (x, y, x + y + z)
T (x, y, z) = (x, x + y, x + y + z)
4. Considere el espacio de las funciones reales. Sean V = sin x, cos x y
T : V → V el operador derivada.Hallar la matriz asociada a T .

5. Considere el espacio de las funciones reales. Sean V = 1, x, ex y T :
V → V el operador derivada. Hallar la matriz asociada a T .
6. Considere el espacio delos polinomios. Sean V = 1, x, x2 , x3 y T :
V → V el operador derivada. Hallar la matriz asociada a T .
7. Sean


A=

1 −4 2
−1 4 −2


1 2 2
B = 2 1 −2
1 2 3




3
1 −2
C = 3 −2 4 
−3 5 11

Calcular:A(B + C), ABC, B 2 y BC − CB.
8. Sean
A=

1 1
0 1

B=

cos θ − sin θ
sin θ cos θ

Calcular: A2 , A3 , A4 , B 2 , B 3 .
9. Resolver cada uno de lossiguientes sistemas de ecuaciones
x − 2y + z = 5
x − 4y + 6z = 10
2x − 5y + 4z = −3
x + y + 3z = 5
2x − y + 4z = 11
−y + z = −3
x + y − 3z + t = 1
x + y − 3z + 2t = 2
6x + y − 4z + 3t = 7

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