Proy

Dados dos números naturales a y b, con b distinto de 0, la división euclídea asocia un cociente q y un resto r, ambos números naturales, que verifican:
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La pareja (q, r) es única.
Demanera formal:

Teorema de la división euclídea para los números naturales |
Sean a y b dos enteros positivos, con b no nulo. ExistenciaConsidérese el conjunto E definido por:E es no vacío puescontiene a. Como E es una parte no vacía de N, por axioma, el mínimo de E existe. Nótese r ese mínimo y q el entero que lo define, es decir, aquel que verifique la igualdad a - b*q = r. Porconstruction, r es un número natural. El entero r - b no puede ser elemento de E por lo que es estrictamente negativo, de modo que r debe ser estrictamente menor que b. Esto demuestra laexistencia.UnicidadSupóngase que existen cuatro enteros q1,q2, r1 y r2 que forman dos parejas de soluciones. Por diferencia, (q1 - q2)*b + (r1 - r2) es cero.Esta igualdad muestra que b divide a r1 - r2 . Como r1 y r2 sonestrictamente menores que b y positivos, r1 - r2 está comprendido estrictamente entre - b y b, por lo que el único valor posible múltiplo de b para r1 - r2 es cero. En conclusión, r1 es igual a r2 por loque q1 también es igual a q2. |
[editar] Ejemplos

[editar] División euclídea en los números enteros
Dados dos números enteros a y b, con b no nulo, la división euclídea asocia un cociente q y unresto r, ambos números enteros, que verifican:
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De manera formal:

Teorema de la división euclídea para los números enteros |
La definición de la división euclídea sobre los númerosnaturales permite probar la existencia de q1 et r1 tales que con Un estudio por inspección sobre los signos respectivos de a y b permite establecer la existencia de al menos un cociente y un resto porla división euclídea de a por b:para a y b negativos, cociente q1 y resto - r1;para a negativo y b positivo, cociente - q1 y resto - r1;para a positivo y b negativo, cociente - q1 y resto r1;para...