Proyeccion estereografica

PROYECCIONES ESTEREOGRÁFICAS


Con el fin de discutir algunas ideas que involucran planos y direcciones específicas dentro de un cristal, es muy útil tener algún tipo de mapa sobre el cual podamos mostrar esos planos y direcciones de los cristales. La proyección estereográfica nos proporciona tales mapas y ésta es ampliamente usada en la literatura metalúrgica. El esquema general de laproyección estereográfica es como se presenta a continuación:

1.- Representamos los planos de un cristal por sus normales.
2.- El cristal es colocado en el centro de una esfera y sus normales son proyectadas para interceptar la esfera.
3.- Las intercepciones de esas normales sobre la esfera después son dibujadas sobre un plano para obtener la proyección deseada.

La proyección estereográficaresultante es una herramienta muy útil que, entre otras cosas, nos proporciona lo siguiente:

1.- Visualiza y discute la relación entre planos y direcciones cristalográficas.
2.- Ayuda en el análisis de los patrones de difracción de rayos X y patrones de difracción por bombardeo de electrones.
3.- Representa esquemáticamente la simetría de la red.
4.- Determina ángulos entre planos y direccionescristalográficas.

Con el objeto de introducir la proyección estereográfica, es muy importante utilizar la celda unitaria como un “cubo de referencia”. El procedimiento es el siguiente:

1.- Colocar el origen de un sistema de coordenadas en el centro de una celda unitaria.
2.- Dibujar líneas a partir de este origen perpendiculares a cada uno de los planos principales del cristal, formando deesta manera sus normales.
3.- Marcar la intercepción de esas normales sobre la celda unitaria con símbolos de simetría de los planos representados.
La figura 1 presenta este esquema con la intercepción de cada una de las normales marcadas con el plano representado y su símbolo de simetría. La ventaja de usar el cubo de referencia es que el cubo tiene una geometría extremadamente simple ymostrando las normales de los planos sobre esta simple geometría nos permite visualizar fácilmente la relación espacial entre los planos presentados.




FIGURA 1

El cubo de referencia es colocado ahora en el centro de una esfera y las normales de los planos son proyectadas hasta interceptar la superficie de la esfera como se muestra para un octavo de la esfera en lafigura 2, a las intercepciones de las normales sobre la esfera se les denominan: polos. De la geometría de los cubos es obvio que los tres polos [101] mostrados caerán sobre las líneas a 45º del eje de coordenadas.


FIGURA 2

Nuestro problema ahora es dibujar esta esfera de referencia sobre un plano. Tres métodos diferentes de dibujo de la mitad superior de la esfera de referencia sobre unplano se muestran en la figura 3.


FIGURA 3

En esta figura, los dos puntos A y B se proyectan a diferentes puntos sobre el plano dependiendo de la colocación del punto de proyección, cuando el punto de proyección es localizado en el centro de la esfera, esta proyección se llama GNOMÓNICA, en la base de la esfera se llama ESTEREOGRÁFICA, y en el infinito se llama ORTOGRÁFICA. Muchosestudiantes de Ingeniería de cursos de gráficos están muy familiarizados con las proyecciones ortográficas. La proyección estereográfica es muy similar a la proyección ortográfica en apariencia. Una propiedad significativa de la proyección estereográfica que encontraremos muy útil es: Los ángulos entre los polos en la proyección son siempre los verdaderos ángulos entre las normales de los planosrepresentados por los polos. En ángulo entre los normales de los planos es también el ángulo entre los planos representados por esas normales. Por lo tanto, determinando ángulos entre polos obtenemos los ángulos entre planos. Para ser capaces de proyectar fácilmente la esfera estereográficamente y también medir ángulos sobre la proyección, se usa la siguiente técnica. Se dibujan líneas de latitud y...