Proyecciones estereograficas

INTRODUCCION.
Es una herramienta metalúrgica útil, pues nos permite ver la representación de los planos y direcciones cristalográficas en dos dimensiones   de una manera directa y conveniente. El valor real del método se obtiene cuando es posible visualizar directamente características cristalográficas en término a sus proyecciones estereográficas.   El propósito es concentrar sobre lacorrespondencia geometría   entre planos y direcciones cristalográficas y sus proyecciones estereográficas. En cada caso se compara un croquis de cierta característica cristalográfica, en términos a su posición en la celda unitaria, con su proyección estereográfica correspondiente. 
Se consideraran varios ejemplos sencillos, pero antes de hacer esto, deberá presentarse atención a varios hechospertinentes. La proyección estereográfica es un trazado bidimensional de datos tridimensionales. La geometría de todos los planos y direcciones esta reducida por una dimensión. Los planos se trazan como grandes líneas circulares, y las direcciones se trazan como puntos. Además, la normal a un plano describe completamente la orientación de un plano. 

Proyecciones estereográficas.
Ésta representación esmuy utilizada en varias áreas como la cartografía y la cristalografía y es a través de la esfera de Riemman.
Consiste en una esfera de Riemann y un plano tangente a ella en su punto más bajo, dicho punto es llamado polo sur, la parte más alta será el polo norte. Cada punto de la esfera tendrán sólo uno punto en el plano, el cual se obtendrá alargando una línea recta imaginaria del polo norte alpunto y posteriormente hasta que llegue al plano, donde toque al plano será su punto equivalente. Todos los puntos de la esfera tendrán un punto en el plano menos el polo norte al cual se le llama punto de fuga y representa el infinito. El llamado plano complejo extendido es el conjunto de números del plano más el infinito (polo Norte) el cual sólo se puede representar en la esfera. El polo surrepresenta al cero.
Si se coloca una figura de 3D con caras en forma de planos y se traza un vector perpendicular al plano que representa la cara de esta figura, tocara en un punto a la superficie de la esfera, si se hace esto con todas las caras se notará que la proyección respeta las relaciones angulares entre las caras.
Así, si hacemos transformaciones de círculos en la esfera, haremostransformaciones de círculos en el plano a excepción que pase por el polo norte, si pasa esto se transformará en una línea recta.
La Proyección estereográfica polar es una proyección estereográfica muy usada para realizar mapas de las regiones polares de la Tierra. La deformación del planeta se produce desde la mirada de los polos hacia el Ecuador lo que este sufre alteraciones respecto de la realidad.
Esuna proyección que produce muy poca distorsión en la escala de distancias en los mapas de los casquetes polares, sobre todo entre las latitudes 80º y 90º (polo). De esta forma se emplea como complementaria de la Proyección Universal Transversa de Mercator para la cartografía completa del mundo en el sistema UTM.
Proyecciones estándar.
Para tratar con problemas de orientación del cristal unaproyección estándar es de sumo valor, ya que muestra a simple vista la orientación relativa de todos los planos importantes en el cristal. Tal proyección se hace seleccionando algún plano importante del cristal de índices bajos como plano de proyección [por decir, (100), (110), (111), o (0001)] y proyectando los polos de varios planos del cristal sobre el plano seleccionado. La construcción de unaproyección estándar de un cristal requiere del conocimiento de los ángulos interlineares para todos los planos principales del cristal.
Mucho tiempo puede ahorrarse al hacer proyecciones estándar haciendo uso de la relación zonal: las normales a todos los planos que pertenecen a una zona son cooplanpares y en ángulo recto a los ejes de zona. Consecuentemente, los polos de los planos de una zona...