Proyecciones Estereograficas

CAPÍTULO 5
GEOMETRÍA DE LOS CRISTALES II
5.1 PROYECCIÓN ESFÉRICA
Si de un punto cualquiera del espacio se trazan normales a todas las caras de un cristal, se
obtiene un haz de rectas convergentes en dicho punto.
ángulos entre estas rectas serán
suplementarios de los ángulos centrales entre las caras.
Describiendo una superficie esférica de centro en este punto de intersección de las normalesmencionadas, ver Figura 5.1, y prolongando éstas hasta la intersección con la superficie
esférica, obtendremos en la esfera un conjunto de puntos que determinan unívocamente la
posición de las caras. Esto es la proyección esférica
cristal. Estos puntos se denominan
polos de las caras. Su lugar en la esfera se puede fijar mediante coordenadas esféricas, latitud y
longitud, como se hace en geografía. Enlugar de la la itud medida desde 0º en el ecuador EE
hasta +90º en el polo norte y –90º en el sur de la esfera, es más cómodo usar otra coordenada,
denominada distancia polar , medida según un meridiano cualquiera a partir del 0º en el polo
norte hasta 180º en el polo sur. Con este sistema de notación todos los puntos del ecuador
tienen una distancia polar igual a 90º.
Para las coordenadasesféricas usadas en Cristalografía se han tomado las siguientes
notaciones: ρ para la distancia polar y ϕ para la longitud. Esta última se mide según el ecuado
a partir del meridiano que se toma como cero. En la Figura 5.2, se indican las coordenadas ρ y
ϕ de la cara M.

Figura 5.1.- Proyección esférica de un
cristal

Figura 5.2.- Coordenadas r y j sobre una
esfera

Para pasar de la esfera al dibujoplano hay varios pro edimientos. Los más cómodos para las
diferentes representaciones y cálculos gráficos son dos: la proyección gnomónica y la
proyección estereográfica.
5.2 PROYECCIÓN GNOMÓNICA
Las características de la proyección gnomónica pueden
renderse mejor considerando que
se deriva de la proyección esférica. En el caso de la proyección gnomónica,
plano de
proyección generalmente se toma comoel plano horizont que es tangente al polo norte de la
65

esfera de la proyección esférica. Se toman entonces lí eas imaginarias, desde el centro de la
esfera a través de los polos de las caras de los crist les que están ubicados en su superficie, y se
prolongan hasta que tocan el plano de proyección. Los
n los que estas líneas tocan ese
plano, constituyen la proyección gnomónica de las formasrepresentadas. La Figura 5. ,
muestra las relaciones entre las proyecciones gnomónic y esférica, empleando las mismas
formas de cristales isométricos que se emplearán para ustrar los principios de la Proyección
Estereográfica. La Figura 5.4 muestra la proyección gnomónica de la misma serie de formas.

Figura 5.3.- Relación entre la proyección esférica y la gnomónica

Los siguientes rasgos de laproyección gnomónica son i
antes. Todos los círculos
máximos en la proyección esférica se convierten en líneas rectas cuando se pasan a la
gnomónica. Los polos de una serie de caras del cristal que p enecen a la misma zona estarán,
por lo tanto, colocados en una línea recta en la
proyección gnomónica. El polo de una cara
horizontal del cristal, tal como la cara superior
del cubo, caerá en el centro dela proyección.
Los polos de las caras verticales del cristal
estarán situados en el plano de proyección sólo
a distancias infinitas del centro. Esto se ve
haciendo un examen de la Figura 5.4. Esas
caras generalmente se indican en la proyección
por el uso de líneas radiales o flechas que
indican las direcciones en las que están
situados sus polos. Esto se ilustra en el caso de
las caras verticalesdel cubo y del dodecaedro
en la Figura 5.4. Las caras del cristal que
tienen una inclinación pronunciada con el
plano horizontal, deben frecuentemente
indicarse de la misma manera.
Figura 5.4.- Proyección gnomónica del cubo
Generalmente , también la proyección gnomónica está rodeada por un límite cuadrado de dos
líneas paralelas, en las que están indicadas las direc iones en que están ubicados...