Proyecciones ortogonales y ajuste de datos

Álgebra Lineal
Proyecto I
08/11/2013

Proyecciones ortogonales y ajuste de datos.

Objetivo: Aplicar el concepto de proyección de un vector sobre un espacio vectorial para
encontrar la mejor curva de ajuste a datos experimentales utilizando el método de
mínimos cuadrados.

Introducción
a) Porqué son necesarios los métodos estadísticos de ajuste de datos experimentales.Generalmente recibimos un conjunto discreto de datos medidos a lo largo de un continuo pero cuando necesitamos saber un dato que se no se encuentra entre la colección discreta que recibimos y en su lugar necesitamos un dato que se encuentra entre dos valores o fuera del conjunto hacemos uso de métodos que nos ayudan a calcular una buena aproximación de ese valor.

b) Mencionar algunos métodosestadísticos para calcular las curvas de ajuste y cuál
es su fundamento general.

Interpolación:
Este método de ajuste consiste en determinar un polinomio único de grado n que se ajusta a n+1 puntos permitiendo encontrar valores intermedios, la forma más elemental es la interpolación lineal, donde entre 2 puntos se encuentra un valor intermedio(no necesariamente el punto medio), su fórmula es:donde x es el punto del que quieres estimar el valor y x1 y x0 son los puntos entre los que se encuentra
Esta estimación se le puede reducir el error si aumentamos la cantidad de puntos obteniendo una curva de mayor grado. Con 3 puntos obtenemos una interpolación cuadrática y ahora es una parábola la que encuentra nuestro punto intermedio, de la forma

donde



se puede aumentar el grado delpolinomio como sea necesario




c) Definir y explicar el concepto de proyección ortogonal de un vector v sobre un
subespacio H.
Una proyección es podes representar o hacer visible un objeto sobre la figura de otro (proyectar), en este contexto es hacer que un vector aparezca su imagen sobre un subespacio H. Ortogonal quiere decir que el ángulo que se forma entre el vector y su proyecciónes de 90 grados

En el subespacio H de con base ortonormal . si
la proyección de H sobre v se da por




y la proyección se encuentra en H
Si se tiene una base para y se puede escribir v como se puede escribir de manera única
entonces
ya que los ui son ortonormales.
d) Enunciar y explicar el teorema de aproximación de la norma.
Teorema de proyección
Si H es un subespacio en y v unvector enexisten vectores únicos h que esta en el subespacio H y p del complemento ortogonal de H donde h y pe son proyecciones ortogonales del vector v sobre el subespacio y su complemento respectivamente tenemos que:




Teorema de aproximación de la norma.
Si H es un subespacio en y v un vector en . Entonceses la mejor aproximación para v en H, si h es cualquier otro vector en Hentonces:


por el teorema anterior conocemos el valor del vector v entonces


y como el primer término de la derecha está en el complemento y el segundo en H entonces


así


por lo tanto
queda demostrada

Modelo
a) Explique el modelo matricial para resolver el problema de mínimos cuadrados
tanto en el caso de una recta como en el de la aproximación cuadrática.
Como ya he explicadoantes, para analizar un conjunto de datos y necesitamos obtener un valor que no es parte del conjunto tienes que usar un método para obtener su valor, no siempre cuentas con una simple función con la que puedas calcular todos los valores por lo que tienes que “ajustar” una curva que mejor se adapte a sus valores.

Aproximación por una recta
Se tienen un conjunto de n datosy se busca el mejorajuste de la formaobviamente no tendremos un valor exacto porque se asume que y depende de x de la formadonde entoncesque difiere del valor real de por eso nos referimos al mejor ajuste.
La distancia de dos puntos en está definida por la suma de cuadradosentonces para obtener la mejor recta hay que elegir la que tiene menor distancia, es decir la que minimiza los cuadrados.
Con n puntos se...