Proyecciones ortogonales

PROYECCIONES ORTOGONALES.
Recuerde que, en IR2, la proyección de un vector v sobre un vector distinto de cero u está dada por:
proynv=u∙vu∙uu
Además, el vector perpuv=v-proyuv es ortogonal aproyuv, y podemos descomponer v como
v=proyuv+perpuv
Como se muestra:
Si hacemos que W=espaciou,entonces w=proyuv se encuentra en W y wortog=perpuv se encuentra en Wortog. Por tanto, tenemos una manerade "descomponer" v en la suma de dos vectores, uno de W y el otro ortogonal a W, a saber, v=w+wortog. Ahora generalicemos esta idea a R".
Definición
Sea W un subespacio de R2 y {U1,u2, . . .,un} una base ortogonal pa¬ra W. Para cualquier vector v en R2, la proyección ortogonal de v sobre W está definida como
proynv=Ul∙vUl∙UlUl+ . . . + Uk∙vUk∙UkUk

La componente de v ortogonal a W esel vector
perpwv=v-proyuv

Cada sumando en la definición de proywv es también una proyección sobre un solo vector (o, de manera equivalente, el subespacio unidimensional generado por él, en nuestroanterior sentido). Por tanto, con la notación de la definición anterior, podemos escribir.
proywv=proyuv+ . . .+ proyu1v

En razón de que los vectores ui son ortogonales, la proyección ortogonalde v sobre W es la suma de sus proyecciones sobre subespacios unidimensionales que son mutuamente ortogonales.

W=espaciou1,u2, p=proywv, p1=proyu1v y p2=proyu1v

Como un casoespecial de la definición de proywv ahora tenemos también una elegante interpretación geométrica del teorema. En términos de nuestra notación y terminología actuales, ese teorema establece que si w estáen el subespacio W de Rn, el cual tiene base ortogonal v1,v2,v3,. . . ,vk, entonces:
w=w∙v1v1∙v1v1+ . . . + w∙vkvk∙vkvk=proyv1w+ proyvk(w)
De esta manera, w es descompuesto en una suma deproyecciones ortogonales sobre subespacios unidimensionales mutuamente ortogonales de W.
La definición anterior parece depender de la selección de la base ortogonal, es decir, una base diferente {u'1, . ....