proyecciones ortogonales

Proyección ortogonal 

 

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14. PROYECCIÓN ORTOGONAL 
14.1. EL VECTOR MÁS CERCANO A   EN 

 

Si  el  ángulo  que  forman  los  vectores   y   es  ,  entonces 
,

cos

. Interpretando  esta  igualdad  en  el  espacio 

         
 

 se  tiene  que  el  triángulo  rectángulo  cuya 

euclídeo 

  
                              

hipotenusa es  y que tiene un cateto en la dirección del vector 
, verifica que la longitud de este cateto es exactamente  

,

,

 

, 

por tanto, el vector que representa ese cateto es:  
,

,
,

 

 Dicho vector notado por  , recibe el nombre de proyección ortogonal de   en la dirección del 
vector  .  
DEFINICIÓN 
La proyección ortogonal del vector 

 sobre el subespacio 
,
,

 es el vector 

 OBSERVACIONES 
•

En 
•

 

El  vector 

,  pues 

,

   

,

,

,

,

 

0 .  

  es el vector que representa al otro cateto del triángulo rectángulo. 

,  

Cualquier otro  vector   que  tenga  la  dirección  del  vector   está  más  lejos  de   que  el 
vector  . En otras palabras, el vector más cercano a   de todos los vectores que tienen la 
                                  
 

dirección de  , es su proyección ortogonal. 
La justificación de este hecho en 

 la proporciona  

  

                     

el teorema de Pitágoras: si  es otro vector con la dirección de  , entonces 
 
donde los vectores 
,

 y 

 son ortogonales, el teorema de Pitágoras asegura:  
,

  

1 
 

Álgebra Lineal 

 

Miguel Reyes – Águeda Mata 14.2. PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN SUBESPACIO 
Sea 

 y sea   un subespacio vectorial de 

.  

 

 
 

Se  llama  proyección  ortogonal  del  vector   sobre  el 
subespacio 

 al  vector 

 que verifica  que 

 

 

, se escribe como: 
 
OBSERVACIÓN 
El vector 

 es el vector de   que minimiza la distancia a  , es decir: 
,

 

,

, para todo ...