proyecciones

FUNCIÓN INYECTIVA
Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales  a  es una función inyectiva.
(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros  (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo
f(2) = 4 y
f(-2) = 4)
Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porquesuena un poco como si fuera biyectiva.
Otras formas de definirse:
Una función  f: " X Y", es inyectiva si a cada valor del conjunto "X" (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto "Y "(imagen) de "f", es decir a cada elemento del conjunto "Y" le corresponde un solo valor de "X"  tal que, en el conjunto "X" no puede haber dos o mas elementos que tengan la misma imagen.

O dicho deotra manera:
Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (lasordenadas) se repiten o no.
EJEMPLO 1 : Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x2 – 2

Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
5
2
-1
-2
-1
2
5
:Donde su gráfica será

EJEMPLO 2: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x3.
Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
28
9
2
1
0
-7
-26
Donde su gráfica seráa:


Si hay duda sobre su entendimiento veamos otra forma de expresión matemática y sus ejemplos:
Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.
Ejemplo 1:
Sea A={1,2,3} B={1,2,3};
f: A.B:
f={(1,2), (2,1), (3,3)}
Es decir, gráficamente queda:Nótese que cada elemento del
conjunto B recibe solamente una línea.
ENTONCES ES INYECTIVA.


Ejemplo 2.
Sea A={1,2,3} B={1,2,3};
f: A.B:






Si hay duda sobre su entendimiento veamos otra forma de expresión matemática y sus ejemplos:
Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.
Ejemplo 1:
Sea A={1,2,3}B={1,2,3};
f: A.B:
f={(1,2), (2,1), (3,3)}
Es decir, gráficamente queda:

Nótese que cada elemento del
conjunto B recibe solamente una línea.
ENTONCES ES INYECTIVA.

Ejemplo 2.
Sea A={1,2,3} B={1,2,3};
f: A.B:
f={(1,2), (2,1), (3,2)}
(solo se cambio el número indicado en rojo) Gráficamente:

Hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas o líneas, por lo tanto
NO ESINYECTIVA.

Ejemplo 3.
Para la siguiente función: f(x) = y = x-1.  A cada elemento del domino se le relaciona en la función con UN elemento de la imagen,


Por lo tanto ES INYECTIVA.
NOTA: El domino y la imagen son todos los reales:

Ejemplo 4.
Si la función fuera parábola, f(x)=x2 como la que se muestra a continuación:

Hay elementos en el domino que se le asigna el mismo valor de la imagen;por ejemplo la pareja de valores P1(2,4) tiene el mismo valor de la imagen 4; que el punto P2(-2,4). Por lo tanto la
función
NO ES INYECTIVA.
NOTA: Ahora el domino y la imagen son diferentes:







FUNCIÓN SUPRAYECTIVA
Una función f (de un conjunto A a otro B) es suprayectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en Aque cumple f(x) = y, en otras palabras f es suprayectiva siy sólo si f(A) = B.
Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.
Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  al de los números pares no negativos es sobreyectiva.
Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  a  no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de  va al 3 por esta función.
Otras...