Proyectividades
Páginas: 40 (9860 palabras)
Publicado: 16 de marzo de 2013
Geometr´a proyectiva plana
ı
por
Luis Ugarte Vilumbrales, Universidad de Zaragoza
Ninguna rama de las matem´ticas puede competir con la geometr´
a
ıa
proyectiva en originalidad de ideas,... elegancia de demostraci´n y alo
cance de conceptos. La ciencia nacida del arte result´ ser ella misma
o
un arte.
Morris Kline
1.
Los artistas del Renacimiento y el origen de la geometr´a
ıproyectiva
La geometr´a proyectiva nace a ra´z de los esfuerzos realizados por los artistas
ı
ı
del Renacimiento para representar de manera mas realista el mundo que les rodeaba.
´
En el caso concreto de la pintura, esta se hab´a caracterizado hasta entonces por el
´
ı
uso de cierta simbolog´a que llevaba impl´cita una clara desconexion de las obras
ı
ı
´
con el mundo real.La ilustracion de temas b´blicos era la principal finalidad de
´
ı
la pintura en el per´odo medieval, los fondos de la obras sol´an ser dorados para
ı
ı
sugerir que las escenas correspond´an a alguna region celestial, las figuras eran mas
ı
´
´
simbolicas que realistas y las formas sol´an ser planas y sin naturalidad.
´
ı
El gran problema al que se enfrentaron los pintores delRenacimiento era como
´
plasmar el mundo tridimensional real en un lienzo bidimensional.
La clave para
resolver esta cuestion fue la interpretacion de una propiedad fundamental de la vision
´
´
´
monocular, debida principalmente a Leone Battista Alberti (1404-1472). Sus ideas,
presentadas en su obra
“Della Pittura” en 1435, pueden resumirse de la siguiente
91
92
6.Geometr´ proyectiva plana
ıa
manera. Cuando contemplamos una escena tridimensional utilizando un solo ojo, la
vision se produce debido a que los rayos de luz procedentes de los distintos puntos
´
de la escena llegan hasta nuestro ojo. Si ahora situamos un lienzo transparente entre
el ojo y la escena, esta coleccion de rayos de luz, o
´
una coleccion de puntos.
´
proyecci´n,cortara al lienzo en
o
´
secci´n, es lo que el artista
o
Esta coleccion de puntos, o
´
debe pintar para que cualquier observador de su pintura reciba la misma percepcion
´
de la escena tridimensional que si mirase directamente a ella, ahora bien, siempre y
cuando el observador mire tambien con un solo ojo y desde el mismo punto. Este
´
principio de proyeccion y seccion es bienilustrado en algunos grabados del pintor
´
´
aleman Alberto Durero (1471-1528). En el grabado de la Figura 1 podemos observar
´
al artista marcando en una pantalla de cristal el punto en el que corta uno de los rayos
de luz, que va desde la
escena (en este caso un
jarron) al ojo del artista
´
(mas rigurosamente, al
´
punto
de
el
que
de
tales
cuerda).
la
esta´
pared
fijada
en
la
La coleccion
´
puntos
es
la
seccion obtenida en la
´
Figura 1
pantalla de cristal.
Pero como el lienzo del artista no es transparente, la tarea de plasmar con exac-
titud la proyeccion deseada sigue siendo un gran problema.
´
Existe ademas otra
´
dificultad anadida y es que nuestro sentido de la vista involucra los dos ojos, cuestion˜
´
que los pintores trataban de resolver jugando con el uso de sombras y la variacion
´
de la intensidad de la luz. Algunas obras de Leonardo da Vinci (1452-1519) o de
Rafael (1483-1520), entre otros, permiten
hacernos una idea del exito que los pin´
tores del Renacimiento tuvieron en repre-
sentar las escenas de manera mas realista
´
haciendo uso del principio de proyeccion´
y seccion. En la Figura 2 se reproduce
´
Escuela de Atenas de Rafael.
La
Este esfuerzo por reflejar de forma mas
´
real los objetos tridimensionales llevo a
´
muchos artistas y arquitectos del Rena-
Figura 2
93
cimiento a indagar en las leyes formales que rigen la proyeccion y seccion.
´
´
Una
cuestion basica, planteada por Alberti, era el estudio de...
ı
por
Luis Ugarte Vilumbrales, Universidad de Zaragoza
Ninguna rama de las matem´ticas puede competir con la geometr´
a
ıa
proyectiva en originalidad de ideas,... elegancia de demostraci´n y alo
cance de conceptos. La ciencia nacida del arte result´ ser ella misma
o
un arte.
Morris Kline
1.
Los artistas del Renacimiento y el origen de la geometr´a
ıproyectiva
La geometr´a proyectiva nace a ra´z de los esfuerzos realizados por los artistas
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ı
del Renacimiento para representar de manera mas realista el mundo que les rodeaba.
´
En el caso concreto de la pintura, esta se hab´a caracterizado hasta entonces por el
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ı
uso de cierta simbolog´a que llevaba impl´cita una clara desconexion de las obras
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con el mundo real.La ilustracion de temas b´blicos era la principal finalidad de
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ı
la pintura en el per´odo medieval, los fondos de la obras sol´an ser dorados para
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sugerir que las escenas correspond´an a alguna region celestial, las figuras eran mas
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simbolicas que realistas y las formas sol´an ser planas y sin naturalidad.
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El gran problema al que se enfrentaron los pintores delRenacimiento era como
´
plasmar el mundo tridimensional real en un lienzo bidimensional.
La clave para
resolver esta cuestion fue la interpretacion de una propiedad fundamental de la vision
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monocular, debida principalmente a Leone Battista Alberti (1404-1472). Sus ideas,
presentadas en su obra
“Della Pittura” en 1435, pueden resumirse de la siguiente
91
92
6.Geometr´ proyectiva plana
ıa
manera. Cuando contemplamos una escena tridimensional utilizando un solo ojo, la
vision se produce debido a que los rayos de luz procedentes de los distintos puntos
´
de la escena llegan hasta nuestro ojo. Si ahora situamos un lienzo transparente entre
el ojo y la escena, esta coleccion de rayos de luz, o
´
una coleccion de puntos.
´
proyecci´n,cortara al lienzo en
o
´
secci´n, es lo que el artista
o
Esta coleccion de puntos, o
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debe pintar para que cualquier observador de su pintura reciba la misma percepcion
´
de la escena tridimensional que si mirase directamente a ella, ahora bien, siempre y
cuando el observador mire tambien con un solo ojo y desde el mismo punto. Este
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principio de proyeccion y seccion es bienilustrado en algunos grabados del pintor
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aleman Alberto Durero (1471-1528). En el grabado de la Figura 1 podemos observar
´
al artista marcando en una pantalla de cristal el punto en el que corta uno de los rayos
de luz, que va desde la
escena (en este caso un
jarron) al ojo del artista
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(mas rigurosamente, al
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punto
de
el
que
de
tales
cuerda).
la
esta´
pared
fijada
en
la
La coleccion
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puntos
es
la
seccion obtenida en la
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Figura 1
pantalla de cristal.
Pero como el lienzo del artista no es transparente, la tarea de plasmar con exac-
titud la proyeccion deseada sigue siendo un gran problema.
´
Existe ademas otra
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dificultad anadida y es que nuestro sentido de la vista involucra los dos ojos, cuestion˜
´
que los pintores trataban de resolver jugando con el uso de sombras y la variacion
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de la intensidad de la luz. Algunas obras de Leonardo da Vinci (1452-1519) o de
Rafael (1483-1520), entre otros, permiten
hacernos una idea del exito que los pin´
tores del Renacimiento tuvieron en repre-
sentar las escenas de manera mas realista
´
haciendo uso del principio de proyeccion´
y seccion. En la Figura 2 se reproduce
´
Escuela de Atenas de Rafael.
La
Este esfuerzo por reflejar de forma mas
´
real los objetos tridimensionales llevo a
´
muchos artistas y arquitectos del Rena-
Figura 2
93
cimiento a indagar en las leyes formales que rigen la proyeccion y seccion.
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Una
cuestion basica, planteada por Alberti, era el estudio de...
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