Proyecto 1 intermedia 2

Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ciencias
Departamento de matemática
Matemática intermedia 2
Sección: “A”
Catedrático: Ing. Oscar martínez
Auxiliar: Ricardo de León

PROYECTO 1.

OPTIMIZACIÓN DE TURBINAS HIDRÁULICAS

Pablo José Galich Donis 200715157
Walda Verdandi López Vallejo200915239



Guatemala, 13 de octubre de 2010

ÍNDICE

1. Introducción. 3

2. Objetivos. 4

3. Descripción teórica de los métodos. 5

4. Solución y Resultados. 7

5. Conclusiones. 15

6. Bibliografía. 16

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se dan a conocerlos resultados de los problemas de la pág. 943 del libro “Calculo de varias variables” de Stewart sexta edición, el motivo de resolver estos problemas era el de aplicar los conocimientos aprendidos en clase así como las herramientas tecnológicas que hoy tenemos a la mano como los son los programas de scientific notebook y mathematica.

La Great Northtern Company de Millinocket, Maine, opera unaestación hidroeléctrica generadora de energía eléctrica en el río Penobscot, El agua enviada por tubería desde una presa a la estación generadora. El caudal del agua es variable y depende de las condiciones externas.
La estación generadora de energía eléctrica cuenta con tres turbinas hidroeléctricas distintas, cada una con una función de potencia y conocida que da la cantidad de energíaeléctrica generada como una función del flujo de agua que llega a la turbina. El agua que entra se puede repartir en volúmenes distintos para cada turbina, de modo que lo que se pretende es determinar de qué manera distribuir el agua entre las turbinas para lograr la producción máxima total de energía con cualquier caudal.

OBJETIVOS

1. Determinar de que manera distribuir el agua entre lasturbinas para lograr la producción máxima total de energía con cualquier caudal.

2. Usar multiplicadores de Lagrange para hallar los valores para los flujos individuales, que maximicen la producción total de energía.

3. Determinar la distribución para las turbinas en el caso de un flujo que entra de 2500 pies3seg, y comprobar que en efecto los resultados son un máximo.

4. Analizarproblemas reales en los cuales se debe usar métodos matemáticos para poder resolverlos, como también optimizar su utilidad, como es el caso de las turbinas hidráulicas.

5. Usar el conocimiento aprendido en clase para la solución de problemas ambientados en situaciones de la vida real, en este caso en el inciso 6 para poder recomendar a una compañía sobre la eficacia de las turbinas hidráulicascon diferentes caudales.

DESCRIPCIÓN TEÓRICA DE LOS MÉTODOS

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número derestricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que buscar los extremos condicionados de una función con k restricciones, es equivalente a buscar los extremos sin restricciones de una nueva función construida como una combinación lineal de la función ylas restricciones, donde los coeficientes de las restricciones son los multiplicadores.
Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero.
El método de los multiplicadores de Lagrange
Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto...