PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO WORD

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
TRABAJO DE INVESTIGACION
TEMAS:
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
AUTOR:
Loor AvilaDavid Andrés

DOCENTE:
Ing. William Moreano.
CARRERA:
Ing.Civil.

ASIGNATURA:
Análisis Matemático I
NIVEL: 1ro



Aplicación de las derivadas
Lasderivadas son una razón de cambio pero no solo veremos cómo se determina una magnitud o cantidad con respecto a otra, si no que tanrápido es su variación.
Las derivadas las podemos aplicar hasta enla vida cotidiana por ejemplo:
Pensemos en una persona que cae a un río cuyas aguas se encuentran a muy baja temperatura.
Es claro que la temperatura corporal será función del tiempo que la personapermanezca en el agua y claro también es que la función será decreciente al haber pérdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismoa alcanzar la temperatura del agua dada la diferencia demasa entre ambos.
Sin embargo en este problema resulta vital conocer la rapidez de disminución de la temperatura del cuerpo que por cierto no es lineal.
La disminución podría ser más rápida alprincipio de la caída e ir luego enlenteciéndose, ocurrir exactamente lo contrario, etc.
Tasas de variación
Consideremos una función y = f(x) yconsideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx).
Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.
Δy = [f(a+h) − f(a)]

Tasa de variación media
Se llama tasa de variación media(T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por  o, al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

Interpretación geométrica
La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.

Ya que en el triángulo PQR resulta que:

Velocidad y aceleracióninstantánea
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria, corresponde a la derivada del vector posición (R) respecto al tiempo.
Permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto de latrayectoria. La velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.

En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector posición respecto al tiempo:

Donde  es un vector (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la trayectoria del cuerpo en cuestión y  es el vector posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.

Aceleración instantánea
Laaceleración instantánea es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo o lo que es lo mismo: el límite del incremento de velocidad cuando el tiempo tiende a cero.


Variables Ligadas
Debemos distinguir entre variables que son cuantificadas y las que no lo son; y saber con precisión cuál cuantificador controla en una expresión o una o varias variables.
Ejemplo:
Para cualquier X, existealgún Y, tal que X€A y A€Y", las variables X e Y están ligadas por cuantificadores, mientras que la variable A está libre.
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle nos indica que:
Si una función es continua y derivable en un intervalo y toma valores iguales en sus extremos, existe un punto donde la derivada primera se anula.
Si  es una función continua definida en unintervalo cerrado, derivable sobre el intervalo abierto  y, entonces:
Existe al menos un punto  perteneciente al intervalo  tal que.

Teorema de valor medio
El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:
Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c  (a, b) tal que:

Ejemplo:
¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x3 en [−1, 2]?
F(x) es continua en [−1, 2] y derivable en (−1,...