Proyecto de biologia cienzias



UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Escuela profesional de Ingeniería Agroindustrial

TRABAJO: Aplicaciones de la derivada

CURSO: Cálculo

DOCENTE: Luis Roberto Nuñez Farfan.

ALUMNAS: Calderón Herrera Zoralinda
Ramírez Quezada Heydy
Renteria Sernaque Flor

CICLO: ISullana, 2014






Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función.
En este teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.




Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b], que es derivable en todo punto del intervaloabierto ] a,b[. 

Sea c en ] a,b[ tal que  o  no existe.

a) Si  es positiva para todo xC, entonces f(c) es un valor máximo relativo de f(x).

b) Si  es negativa para toda xC , entonces es f(c) un mínimo relativo de f(x).

c) Si  es positiva para todo xC; o si  es negativa para todo xC, entonces f(c) no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de f(x). 



Lassituaciones enunciadas en a., b. y c. pueden representarse gráficamente como:




























En los estos ejemplos se determinara los valores extremos de una función cuya ecuación se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan los valores críticos y por último se aplica el  teorema anterior.



Note que f está definida para  Como  entonces  si y solo si x=2 ó x= -2. 

Los valores críticos son x=2 y x= -2  

Determinemos ahora cuándo  y cuándo . 



Como
, se deben resolver las desigualdades:
 , .
Nos ayudamos con la tabla siguiente:







Como  para  y  para  entonces es un valor mínimo. 

Como  para  y  para  entonces  es un valor máximo. 

La representación gráfica de la función esla siguiente:



Note que  es un mínimo
relativo y que  es un
máximo relativo, en el dominio de la
función.




2 En este caso comprobar  

Entonces,   si y solo si , ó,  

Además,  no existe si . 

Los valores críticos de f son  x=7/11,  x=1, x=-1. 

Como  es positivo para todo  entonces para determinar cuando, y cuando  , basta con analizar laexpresión  . 

Utilizamos la siguiente tabla:





a) Como   para   y como f es continua sobre ese intervalo, entonces  es creciente sobre   por lo que   si . 
Por lo tanto  en un valor mínimo relativo de f.


b) Como  para  y   para  , entonces.   es un valor máximo relativo de f. 





c) Como   si   y como f es continua sobre   entonces f es decreciente sobre  , y portanto    cuando  .

Luego f(1)=0  es un valor mínimo relativo de f.

3)  

Se tiene que    (Compruébelo) 

Ahora,  si y solo si  es decir, si  . 

Los valores críticos de f son x=0, x= -2 , x=2 , estos últimos por ser extremos del intervalo. 
Como , y,  ,  , y,  son expresiones positivas para todo  entonces el signo de  estará determinado por la variación de x. 


Luego se tiene: a) Como  para  y f es continua en  entonces f es decreciente sobre  . Luego  para  , y es un máximo relativo de f. 

b) Como  para   y    para  , entonces  es un mínimo relativo de f. 





c) Como  para xE ]0,2]  y f  es continua en ]0,2]   entonces f es creciente en ]0,2]  . Luego  para  y  es un máximo relativo de f. 

Criterio de la segunda derivada para establecer losvalores máximos y los valores mínimos de una función.

Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una función, la segunda derivada permite establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo. 
El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto. 


Sea f una función con dominio D. 

Si  está definida para xE ]a,b[   donde  y si  con entonces:...