Proyecto De Matemática

Universidad Rafael Landivar
Facultad de Ingeniería
Matemática I, sección 03
Ing. Jorge Estuardo Sánchez

PROYECTO No. 1:
DRENADO DE UN TANQUE


PLANTEAMIENTO DEL PROYECTO

Drenado de un tanque. Un tanque cilíndrico con una altura H m y un radio R m está lleno de agua. En el momento t =0, un circulo de drenado en el fondo del tanque con un radio r m se abre y el agua puede fluirfuera del tanque. Un buen modelo (basado en la Ley de Torricelli) predice que la altura del agua en el tanque después de t segundos está dada por la función
Para donde es la aceleración debido a la gravedad.
Antes de asignar valores a t, r, R y H hagamos un analisis:
1) Evaluemos e interpretemos h(0). ¿Es el valor que se espera? Explique su respuesta.
2) ¿En qué momento es h(t)=0 ?Esto es, cuánto tiempo se requiere para drenar el tanque? El tiempo de drenado es llamado T, de modo que H(T)=0.
3) Mire la expresión para T en el paso 2. Si H se aumenta por un factor 4 (y todos los parámetros siguen constantes), describa como cambia el tiempo (T) de drenado. Si el radio (R) del tanque se incrementa, ¿cómo cambiaria el tiempo T? Si el radio (r) del drenaje disminuye, ¿cómocambiara el tiempo T?
4) Considere que el tanque tiene una altura H=4, un radio de R=2 m, y un drenaje con un radio de r =0.1 m. ¿Cuál es el tiempo de drenado del tanque? Asegúrese de incluir unidades.
5) Grafique la función de la altura con H=4, R=2 y r=0.1. ¿Es la tasa de flujo de salida mayor cuando el tanque esta casi lleno o cuando esta casi vacío?
6) Aunque la función de la alturaestá definida para todos los valores reales de t, ¿cuál es el dominio de la función para los propósitos de este modelo?

SOLUCIÓN DEL PROYECTO

1) Evaluemos e interpretemos h(0). ¿Es el valor que se espera? Explique su respuesta.
h(0) = [H- 2g Rrt]2
h(0) = (H )2
h(0) = H

R. Si es el valor que se espera. Cuando t = 0, el tanque permanecerá lleno, por lo tanto, la altura del agua esigual a la altura del cilindro (H).

2) En qué momento es h(t)=0 ? Esto es, ¿cuánto tiempo se requiere para drenar el tanque?
El tiempo de drenado es llamado T, de modo que H(T)=0.
h(t) = 0
[H- 2gRrˆ2t]2 = 0
H- 2g Rrˆ2 t = 0
T = -H-2g Rr2
T = H2g Rr2
T = H R22gr2
T =H2g Rr2

R. El tiempo (en segundos) que se requiere para drenar el tanque se representa con la fórmula de T, cuandoh(t) = 0, es decir, cuando el tanque está vacío.

3) Mire la expresión para T en el paso 2. Si H se aumenta por un factor 4 (y todos los parámetros siguen constantes), describa como cambia el tiempo (T) de drenado. Si el radio (R) del tanque se incrementa, ¿cómo cambiaria el tiempo T? Si el radio (r) del drenaje disminuye, ¿cómo cambiara el tiempo T?
T =H2g Rr2

a. T =42g Rr2 R. Si Haumenta por un factor 4, existe una alteración en el tiempo (T) de drenado aumentando su valor, puesto que aumentará la cantidad de agua para cumplir con el enunciado de encontrarse lleno. Y, mientras más agua, más tiempo se demorará el tanque en drenarse.

b. T =H2g 4Rr2 R. Si el radio (R) del tanque se incrementa, al igual que el inciso (a), el tiempo (T) de drenado aumenta su valor, puestoque aumentará el nivel del agua para cumplir con el enunciado de encontrarse lleno. Y, mientras más agua, más tiempo se demorará el tanque en drenarse.

c. T =H2g Rr42 R. Si el radio (r) del drenaje disminuye, el tiempo (T) de drenado sufrirá un cambio aumentando su valor, debido a que el agua fluye fuera del tanque a una menor cantidad, es decís que el tiempo T es inversamente proporcional alradio r.

4) Considere que el tanque tiene una altura H=4, un radio de R=2 m, y un drenaje con un radio de r =0.1 m. ¿Cuál es el tiempo de drenado del tanque? Asegúrese de incluir unidades.

Utilizando la expresión para T del paso 2, se logró calcular el tiempo de drenado del tanque:
T =H2g Rr2
H = 4 m
R = 2 m
r = 0.1 m
T =4 m2(9.8 m/s2)2 m0.1 m2
T = 4 m19.620 m2
T = (0.45 s)(400)...