proyecto ed



Nombre: Rodrigo Gonzalez Berrospe


Registro: 2811400


Fecha: 8/jul/2014


Carrera: Ingenieria Civil


Escuela: Universidad Autonoma de Guadalajara


Tema: Ecuación deCauchy-Euler









LA ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER

Se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias, senos, cosenos,funciones logarítmicas y exponenciales. Este método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes porque se debe resolver la homogénea asociada.

Ecuación deCauchy-Euler
Donde, los coeficientes an,an-1,…,a2,a1,a0,-1 son constantes


MÉTODO DE SOLUCIÓN ( segundo orden y homogenea)

Consideramos una ecuación diferencial de Cauchy_Euler de segundo orden ysuponemos una solución de la forma donde será determinada en procedimiento similar a lo que sucede cuando se sustituye en una ecuación lineal con coeficientes constantes.

Cuando se sustituye ,cada término de una ecuación de Cauchy-Euler se convierte en un polinomio en m multiplicado por
La primera y segunda derivadas son, respectivamente:

Y en consecuencia


Así, es unasolución de la ecuación diferencial siempre que m sea una solución de la ecuación auxiliar (homogénea asociada)

am(m-l)+bm+c=0 o am2+(b-a)m+c=0. (1)

Hay tres casos distintos porconsiderar, en función de si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales y distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas conjugadas.

CASO 1: raíces reales distintas Sean m1 y m2 lasraíces reales de (l), con m1 ≠ m2. Entonces y forman un conjunto fundamental de soluciones. Por consiguiente, la solución general es:
(2)

CASO 2: raíces reales repetidas Si las raíces de(1) son repetidas (esto es, si ml = m2), solo llegaremos a una solución, que es . Cuando las raíces de la ecuación cuadrática am2 + (b - a)m + c = 0 son iguales, la solucion general queda asi...