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3.1. Introducción
Estudiaremos en este tema dos de las distribuciones de probabilidad más importantes y que son
Imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estadística. La distribución
Binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que solo pueden tomar un numero finito, o infinito numerable, de valores) quien escribió el primertratado importante sobre probabilidad. La grafica de la distribución normal en forma de campana se denomina Campana de Gauss.

La distribuci´on binomial o de Bernoulli
La distribuci´on binomial est´a asociada a experimentos del siguiente tipo:
- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos s´olo la posibilidad de ´exito o
fracaso.
- La obtenci´on de ´exito o fracaso en cadaocasi´on es independiente de la obtenci´on de ´exito o
fracaso en las dem´as ocasiones.
- La probabilidad de obtener ´exito o fracaso siempre es la misma en cada ocasi´on.
Ve´amoslo con un ejemplo
Tiramos un dado 7 veces y contamos el n´umero de cincos que obtenemos. ¿Cu´al es la probabilidad
de obtener tres cincos?.
Este es un t´ıpico ejemplo de distribuci´on binomial, pues estamosrepitiendo 7 veces el experimento
de lanzar un dado. ¿Cu´al es nuestro ´exito?.
Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.
El fracaso, por tanto, ser´a no sacar 5, sino sacar cualquier otro n´umero.
Por tanto, ´Exito = E = “sacar un 5” =⇒ p(E) =
1
6
Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒ p(F) =
5
6
Para calcular la probabilidad que nos piden, fij´emonos en que nos dicen que sacamos 3cincos y
por lo tanto tenemos 3 ´exitos y 4 fracasos, ¿de cu´antas maneras pueden darse estas posibilidades?.
Podr´ıamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: EEEFFFF
Pero tambi´en podr´ıamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos calculando de cu´antas
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CAP´ITULO 3. DISTRIBUCI´ ON BINOMIAL Y DISTRIBUCI´ ON NORMAL 39
maneras se puedenordenar 4 fracasos y 3 ´exitos. Recordando las t´ecnicas combinatorias, este problema
se reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidos:
P3,4
7 =
7!
3! · 4!
=
7 · 6 · 5
3 · 2 · 1
= 35formas
Y por tanto, como p(E) =
1
6
y tengo 3 ´exitos y p(F) =
5
6
y tengo 4 fracasos:
p(tener 3 ´exitos y 4 fracasos) = 35 · 1
6
· 1
6
· 1
6
· 5
6
· 5
6
· 5
6
· 5
6
= 00781Formalizando lo obtenido, en una variable binomial con 7 repeticiones y con probabilidad de ´exito
1
6
,
la probabilidad de obtener 3 ´exitos es 0’0781, y lo expresar´ıamos:
Bin

7;
1
6

, entonces p(X = 3) =0 0781
Como repetir este proceso ser´ıa bastante penoso en la mayor´ıa de los casos, lo mejor es recurrir a la
siguiente f´ormula que expresa la probabilidad de obtener cierton´umero de ´exitos en una distribuci´on
binomial:
Definici´on de distribuci´on binomial:
Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener ´exito, E, con probabilidad p y
fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribuci´on binomial de
par´ametros n y p, y lo representaremos por Bin(n;p). En este caso la probabilidad de obtener k ´exitos
viene dadapor:
p(X = k) =

n
k

· pk · q(n−k)
Nota:
Observar que las probabilidades de ´exito y fracaso son complementarias, es decir, q = 1-p y p =
1-q, por lo que basta saber una de ellas para calcular la otra.
Ejemplo:
Antes ten´ıamos Bin

7;
1
6

, y quer´ıamos calcular p(X=3) (obtener 3 ´exitos). Aplicando la f´ormula:
p(X = 3) =

7
3

·

1
6
3
·

5
6
4
= 00781Ejemplo:
Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la
probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos.
En este caso ´Exito = E = “tener hijo” y p(E) = 0’5.
Fracaso = F = “tener hija” y p(F) = 0’5.
Estamos por tanto ante una binomial Bin(6;0’5) y nos piden p(X=2).
Si aplicamos la f´ormula es:
p(X = 2) =

6
2

· (05)2 ·...