Proyecto para la instalacion de un laboratorio de quimica

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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES
En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y para las integrales triples.

3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES
Entre las aplicaciones de las integralesdobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional. 3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA En el capítulo 1 deeste trabajo, se explicó el significado intrínseco de la integral doble de una función f positiva en una región bidimensional D,

∫∫ f ( x, y ) dA ,
D

como el volumen del sólido S

definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora, si se considera que f ( x, y ) = 1 , entonces la integral anterior queda como:

∫∫ f ( x, y ) dA = ∫∫
D

D

dA

(III.1)

Recuerdeque la integral doble f ( x, y ) dA ,

∫∫
m

D

Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene que:

también puede escribirse como

Lim ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij
P →0 i =1 j =1

n

∫∫

D

dA = Lim ∑∑ ∆Aij
P →0 i =1 j =1

n

m

(III.2)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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donde ∆Aij es el área del rectángulo genérico denotado Dij , el cual puede observarse en la figura 3.1

y
d = ym

xi

(xi*,yj*)

yj yj-1

D

Dij

yj

c = y0 a = x0 xi-1 xi xn= b

x

Figura 3.1 Región D dividida en subrectángulos Dij

En otras palabras, la integral

∫∫

D

dA representa el volumen de un

sólido de sección transversal constante, cuyabase es la región D y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas características, el volumen se obtiene como el producto del área de la base y la altura del mismo. A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una región plana. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA Sea D una región bidimensional D , tal que D ⊆ área de la región D , entonces:
A = ∫∫ dxdy
D

2

. Sea A el(III.3)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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Recuerde que una región D es de tipo 1 si se cumple:
( x, y ) a ≤ x ≤ b ∧    D=  f ( x ) ≤ y ≤ g ( x )   

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Observe que si la región D es de tipo 1, la ecuación anterior queda como:

A=∫

b a

∫

g( x) f ( x)

dydx = ∫

b a

[ y ] f ( x) dx

g ( x)

(III.3) (III.4)

A = ∫  g ( x ) − f ( x )  dx  a 

b

Donde la última integral, representa el área comprendida entre las gráficas de y = f ( x ) y y = g ( x ) en el intervalo cerrado [ a,b ] . Esta integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II, dentro de las aplicaciones de la integral definida.

EJEMPLO 3.1

Dibuje la región D y calcule su área,empleando las integrales dobles:

∫∫

D

dxdy y

∫∫

D

dydx , D =

{ ( x, y ) x ≥ y

2

− 2y ∧

x ≤ 4 − y2

}

Solución: La región D se encuentra acotada por las gráficas de las parábolas horizontales x = y 2 − 2 y y x = 4 − y 2 , tal como se puede observar en la siguiente figura.

Recuerde que la gráfica de la ecuación:

x = y2 − 2 y

x = ay 2 + by + c
Es una parábolahorizontal

D

x = 4 − y2

Figura 3.2 Región

D del ejemplo 3.2

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble

∫∫

D

dxdy , es necesario definir los límites de integración, que se

ilustran en la figura 3.3

D
Observe que...