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Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En esteartículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real. Conceptos previos

Considérese una función y= f(x), de variable real x, definida para todo valor de x excepto posiblemente para un cierto valor x= a. Es decir, f(x) está definida para x < a y para x > a. Definamos también:
[editar] Tendencia de una función
Consideremos elconcepto de tendencia de la función: f(x), en la proximidad de un punto: a, antes de emplear el concepto de limite, más formal.
Diremos que una función f(x) tiende a un valor c, cuando x tiende a a por la izquierda, si a medida que x toma valores mas próximos a a, sin llegar nunca a ser a, e inferiores a a, el valor de la función f(x) se aproxima progresivamente a c, siendo c un numero real, entoncesdecimos que la función converge por la izquierda en c, o que la función es convergente por la izquierda.
Si cuando x se aproxima a a, sin llegar al valor de a, y con valores inferiores a a, toma valores casa vez mayores, sin poder determinar un valor real que el valor de la función no pueda superar, diremos que la función tiende a infinito cuando x tiende a a por la izquierda, del mismo modo sicuando x se aproxima progresivamente a a, sin llegar a ser a y con valores inferiores a a, el valor de la función toma valores inferiores cada vez, sin poder determinar un número real mínimo que la función no pueda superar, decimos que la función tiende a menos infinito, cuando la variable tiende a a por la izquierda. En estos dos casos se dice que la función diverge cuando x tiende a a por laizquierda.
Si cuando la variable x toma valores progresivamente mas próximos a a, pero distintos de a e inferiores a a, la función oscila entre un valor superior Ls y un valor inferior Li, siendo
Ls el valor real mas pequeño que la función no puede superar cuando x tiende a a por la izquierda, y Li es el valor mas alto para el que la función permanece por encima cuando x tiende a a por la izquierda,diremos que la función oscila entre los valores Ls y Li cuando x tiende a a por la izquierda, y por lo tanto la función, en este caso no tiene limite.
Si para valores de x próximos a a, inferiores a a, no existe por no estar definida o por no existir ningún número real como resultado de f(x), diremos que f(x) no existe a la izquierda de a.

Por el mismo razonamiento podemos determinar latendencia de la función f(x), cuando x tiende a a, sin llegar a ser a y con valores mayores que a, diciendo que x tiende a a por la derecha, con los mismos resultados que los obtenidos por la izquierda.

Según el caso que f(x) presente cuando x tiende a a por la derecha y por la izquierda y el valor de la función en el punto a: f(a), podremos determinar la continuidad de la función en el punto a, olos distintos tipos de discontinuidad.
[editar] Límite de una función
Artículo principal: Límite de una función.
El límite por izquierda en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores menores de a, como:

El límite por derecha en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores mayores de a, como:

Si estos dos límites en el entorno del punto aexisten y son iguales se dice que la función tiene límite en este punto.

En cualquier otro caso se dice que la función no tiene limite en ese punto.
[editar] Límite superior y límite inferior
Artículo principal: Límite superior y límite inferior.
A pesar de que una función exista pero no tenga limite en un punto, podemos diferenciar un limite superior e inferior.

Diremos que una...