proyecto

An´lisis Num´rico II
a
e
Sandra Ibeth V`zquez Recoba
a

Matem´ticas Aplicadas
a

7 de diciembre de 2010

Sandra Ibeth V`zquez Recoba (Matem´ticas Aplicadas)
a
a

An´lisis Num´rico II
a
e

Diciembre 2010

1 / 31

An´lisis Num´rico II
a
e
Sandra Ibeth V`zquez Recoba
a

Matem´ticas Aplicadas
a

7 de diciembre de 2010

Sandra Ibeth V`zquez Recoba (Matem´ticasAplicadas)
a
a

An´lisis Num´rico II
a
e

Diciembre 2010

2 / 31

Primer Parcial

1

MINIMOS CUADRADOS
´
INTRODUCCION
HISTORIA
´
SOLUCION DEL PROBLEMA DE MINIMOS CUADRADOS
´
´
MINIMOS CUADRADOS Y ANALISIS DE REGRESION
´
METODO DE MINIMOS CUADRADOS
PROGRAMA
EJEMPLOS Y EJERCICIOS

2

SERIES DE FOURIER
´
INTRODUCCION
EJEMPLOS DE SERIES DE FOURIER
APLICACIONES
´FORMULACION MODERNA
´
FORMULACION GENERAL
PROGRAMA
EJERCICIOS

3

Bibliograf´
ıa

Sandra Ibeth V`zquez Recoba (Matem´ticas Aplicadas)
a
a

An´lisis Num´rico II
a
e

Diciembre 2010

3 / 31

MINIMOS CUADRADOS

´
INTRODUCCION

MINIMOS CUADRADOS

Sandra Ibeth V`zquez Recoba (Matem´ticas Aplicadas)
a
a

An´lisis Num´rico II
a
e

Diciembre 2010

4 / 31

MINIMOSCUADRADOS

´
INTRODUCCION

El resultado del ajuste de un conjunto de
datos a una funci´n cuadr´tica.
o
a

M´
ınimos cuadrados es una t´cnica de an´lisis num´rico encuadrada dentro de la optimizaci´n matem´tica, en la que, dados un
e
a
e
o
a
conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la funci´n que mejor se aproxime a los datos (un ”mejor ajuste”), de
o
acuerdo con elcriterio de m´
ınimo error cuadr´tico.
a
En su forma m´s simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los
a
puntos generados por la funci´n y los correspondientes en los datos. Espec´
o
ıficamente, se llama m´
ınimos cuadrados promedio
(LMS) cuando el n´mero de datos medidos es 1 y se usa el m´todo de descenso por gradiente paraminimizar el residuo
u
e
cuadrado.

Sandra Ibeth V`zquez Recoba (Matem´ticas Aplicadas)
a
a

An´lisis Num´rico II
a
e

Diciembre 2010

5 / 31

MINIMOS CUADRADOS

´
INTRODUCCION

Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el m´
ınimo de operaciones (por iteraci´n), pero requiere
o
un gran n´mero de iteraciones para converger.
u
Desde un punto devista estad´
ıstico, un requisito impl´
ıcito para que funcione el m´todo de m´
e
ınimos cuadrados es que los
errores de cada medida est´n distribuidos de forma aleatoria.
e
El teorema de Gauss-M´rkov prueba que los estimadores m´
a
ınimos cuadr´ticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no
a
tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribuci´n normal. Tambi´n es importante que losdatos recogidos est´n bien escogidos,
o
e
e
para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar m´s peso a un dato en particular, v´ase m´
a
e
ınimos
cuadrados ponderados).
La t´cnica de m´
e
ınimos cuadrados se usa com´nmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimizaci´n pueden
u
o
expresarse tambi´n en forma de m´
e
ınimos cuadrados,minimizando la energ´ o maximizando la entrop´
ıa
ıa.

Sandra Ibeth V`zquez Recoba (Matem´ticas Aplicadas)
a
a

An´lisis Num´rico II
a
e

Diciembre 2010

6 / 31

MINIMOS CUADRADOS

HISTORIA

Carl Friedrich Gauss.

El d´ de A˜o Nuevo de 1801, el astr´nomo italiano Giuseppe Piazzi descubri´ el planeta enano Ceres. Fue capaz de seguir su
ıa
n
o
o
´rbita durante 40 d´Durante el curso de ese a˜o, muchos cient´
o
ıas.
n
ıficos intentaron estimar su trayectoria con base en las
observaciones de Piazzi (resolver las ecuaciones no lineales de Kepler de movimiento es muy dif´
ıcil).

Sandra Ibeth V`zquez Recoba (Matem´ticas Aplicadas)
a
a

An´lisis Num´rico II
a
e

Diciembre 2010

7 / 31

MINIMOS CUADRADOS

HISTORIA

La mayor´ de evaluaciones...