Proyecto

Números complejos




Objetivos:


• Comprender el concepto de números complejos


• Operar satisfactoriamente con números complejos.


• Aplicar correctamente las propiedades de los números complejos.


Contenidos procedimentales:


• Resolver correctamente operaciones entre números complejos


• Graficar los números complejos en el planoContenidos conceptuales:


• Representación de los números complejos en el plano


• Opuesto y conjugado de un numero complejo


• Operaciones fundamentales con números complejos


• Operaciones combinadas


Actividades


Inicio:


Resolver


Al cuadrado de un número se le suma 1 y es igual a cero


¿Hay algún número real que satisfaga esta ecuación?


Cuandolos alumnos se dan cuenta que no tiene solución real, les doy el concepto de número imaginario


Las primeras referencias conocidas relacionadas con raíces cuadradas de números negativos proviene de los matemáticos griegos, ella surge de una posible sección de una pirámide.


Los números complejos se hicieron mas populares en el siglo XVI, cuando se buscaba hallar las formulas que dieran lasraíces exactas de los polinomios de segundo y tercer grado por matemáticos italianos como Tartaglia o Cardano y aunque solo estaban interesados en las raíces reales, se encontraron con la necesidad de manejar raíces de números negativos.


Girolamo Cardano (1501- 1576) menciona por primera vez en su libro Ars Manga (1545) la necesidad de definir y utilizar números que respondan a la forma √acon a < 0. En el libro aparece el siguiente problema: “dado un segmento de 10 unidades, dividirlo en partes de manera tal, que el área del rectángulo que se obtenga con esas dos partes sea de 40 unidades cuadradas.”


La solución debía ser fácil. Si una parte es x, la otra parte es y = x – 10 tal que x.y=40. Reemplazando: x. (x -10) = 40, operando x 2 -10x + 40= 0


Al resolver la ecuaciónqueda x 1,2 = 5 ± √- 15. A tales soluciones el filósofo y matemático alemán Descartes (1596 – 1650) los llamo imaginarios [1]


Un número imaginario i se define:





El conjunto de los números complejos es el conjunto de todo los números de la forma a + bi donde a y b son números reales.


Por ejemplo:


2 + 3i


¿Podrá a ser igual a 0? ¿Cómo crees que se escribe un numerocomplejo si a = 0?


¿Podrá se b igual a 0? ¿Cómo crees que se escribe un numero complejo si b = 0?


Tipos de números complejos


• Complejo puro


Es a que numero que tiene tanto parte imaginario como parte real. Como por ejemplo: 2 +3i


• Complejo real


Es aquel número complejo que carece de parte imaginaria; es decir la parte imaginaria es igual a cero. Ejemplo


4+0i


• Complejo imaginario puro


Es aquel número complejo que no tiene parte real, es decir la parte real es igual a cero. Ejemplo


0+6i


• Complejo imaginario nulo


Es el número complejo que presenta tanto la parte real como la imaginaria igual a cero. Ejemplo


0+0i


Ejercicio 1:


Clasifica cada uno de los siguientes números complejos en complejo puro,complejo real, complejo imaginarios puros o complejo imaginario nulo. Identifica cual es la parte real y cual la imaginaria.


a) 3i b) 1/3 5/2i c) -6/5 -3i d) 0 e) i


f) (1/3) – 1


Ejercicio 2


Escribe tres números complejos, tres números reales y tres números imaginarios


Formas de expresión de un número complejo


• Forma binómica


a + bi es la formabinómico de un complejo, donde a representa la parte real y b la parte imaginaria


• Forma cartesiana


(a, b) es la forma cartesiana de un complejo


Representación grafica


Pregunto a los alumnos


¿Dónde creen que se representan gráficamente los números complejos?


Los números complejos se representan por puntos en el plano llamado plano complejo,


En el eje de las...