Proyecto

SOLUCIÓN PROYECTO AUTOESTUDIO PARTE 1
1. La función que se analizará en este caso es la siguiente:

a) La imagen de una función se define como los valores de la variable dependiente quecorresponden a un valor de la variable independiente que se transforma en el mediante la función. Por esta razón, es posible observar que la imagen de f(1) existe y es 1, ya que cuando la variableindependiente toma el valor de 1, el valor correspondiente en la variable dependiente es 1.
b) El límite de una función f(x) cuando x tiende a un número a existe si sus límites laterales existen y soniguales, es decir, el siguiente límite:

limx→afx

Existe si y solo si se cumple la siguiente condición:

limx→a+fx=limx→a-fx

Entonces observando la gráfica es posible deducir lo siguiente:limx→1+fx=1

limx→a-fx=2
Entonces:

limx→1+fx≠limx→1-fx

Por consiguiente el límite de la función cuando x tiende a 1 no existe

c) Una función f(x) es continua en a si se cumplen todaslas siguientes condiciones:

* f(a) existe
* limx→afx existe
* f(a) = limx→afx
En este caso se tiene que:
* f(1) = 1
* El limite no existe como se demostró en el numeral anteriorComo la segunda condición no se cumple, entonces es posible afirmar que la función no es continua en x = 1
d) En este caso se tiene que:

* f(2) = 2
* limx→2+fx= limx→2-fx=1 Entonces ellímite existe y es 1
* f(2) ≠ limx→2fx
Entonces, como se puede observar, la tercera condición no se cumple y para que esto cambie es necesario que la imagen de f (2) sea 1.
e)limx→0+fx=0
f)
limx→0-fx=0,5

2. La derivada de la función se calcula de la siguiente manera:
fx=x1+x2
Utilizando la regla de la cadena:
f'(x)=2x1+x.x1+x'
Teniendo en cuenta que el factor de laderecha es un cociente, la derivada se muestra a continuación:
f'x=2x1+x.x'.1+x-x.1+x'
f'x=2x1+x.12x.1+x-x.1
Simplificando se tiene que:
f'x=12x.1+x.2x1+x-2x21+x
En el término de la izquierda...