Proyectos

Sistemas Lineales
Universidad Antonio Nari˜o n
Se propone resolver el problema AX = b donde A es uma matriz cuadrada invertible de orden n. Los sistemas m´s faciles de resolver son aquellos donde a la matriz A es diagonal, esto significa que el sistema AX = b es de la forma      b1 x1 a11 0 ... 0  0 a22 ... 0   x2   b2        . . . .  .  =  .  . . .  .   .   . . . .. . . 0 0 ··· ann xn bn reduciendose a n ecuaciones y la soluci´n es o   b1 /a11  b2 /a22     .   .  . bn /ann Si aii = 0 para alg´n ´ u ındice i, y bi = 0, entonces xi puede ser cualquier n´mero u real. Si aii = 0 y bi = 0, el sistema no tiene soluci´n. o Otro sistema f´cil de resolver es a      a11 0 ... 0 x1 b1  a21 a22 ... 0   x2   b2        . . . .  .  =  . . . .  .   .   . . . . . . . an1 an2 ··· ann xn bn en el cual A es una matriz triangular inferior (los elementos no nulos de A se encuentran sobre la diagonal principal y debajo de la misma). Para resolver este sistema, suponemos que aii = 0 para todo i, as´ x1 se obtiene de la primera ı ecuaci´n. se sustituye el valor de x1 en la segunda ecuaci´n para obtener el o o valor de x2 .procediendo de la misma manera, se obtienen x1 ,x2 , ...,xn uno por uno y en este orden. Este procedimiento se conoce como sustituci´n progresiva o y lo escribimos xi = bi − 1 aii
i−1

aij xij
j=1

1

Ejercicio 1. Utilice la idea anterior para deducir un procedimiento que resuelva el sistema (1) donde la matriz A es triangular superior. Ejercicio resuelto 1. Resolver el siguiente sistema     4 x1 4 3 −2 1 0 −0.25 2.5 4.25 x2   −11      =  0 0 45 79  x3  −203 −5.6 x4 0 0 0 2.8 De la cuarta ecuaci´n, se deduce que x4 = −5.6/2.8 = −2. A partir de la tercera o ecuaci´n o 45x3 = −203 − (79x4 ) x3 = −203 − (79x4 )/45 reemplazando x4 se obtiene x3 = −1. A partir de la segunda ecuaci´n o x2 = −11 − (2.5x3 + 4.25x4 ) −0.25 (3) (1) (2)

de donde x2 = 0. Finalmente,utilizando la primera ecuaci´n, o x1 = 4 − (3x2 − 2x3 + x4 ) 4 (4)

Reemplazando x2 , x3 , x4 por sus valores, se obtiene el valor de x1 = 1.

1

M´todo de Gauss e

el m´todo de Gauss para resolver el sistema AX = b Consiste en triangularizar e el sistema, es decir por medio de operaciones elementales se obtiene un sistema A X = b donde A es una matriz triangular superior Enseguida se resuelve elsistema triangularizado. Ejercicio resuelto 2. Considere el sistema de ecuaciones en forma matricial      4 3 −2 1 x1 4  3 2 1 5 x2  −8      −2 3 1 2 x3  = −7 −5 0 1 1 x4 −8 Se acostumbra trabajar con una matriz derecha de A el vector b  4 3 −2 3 2 1  −2 3 1 −5 0 1 2 ampliada, resultado de pegar a la  1 4 5 −8  2 −7 1 −8

Inicialmente se buscan ceros en la primeracolumna. Para buscar cero en la posici´n (2,1) fila 2 y columna 1, se hace la siguiente operaci´n: o o fila2 ← fila2 − 3/4fila1  4 3  0 −0.25  −2 3 −5 0 −2 2.5 1 1  1 4 4.25 −11  2 −7  1 −8

Para obtener cero en la posici´n (3, 1) se hace la siguiente operaci´n o o fila3 ← fila3 − (−2/4)fila1  4 3  0 −0.25  0 4.5 −5 0 −2 2.5 0 1  1 4 4.25 −11  2.5 −5  1 −8

Para obtener cero en laposici´n (4, 1) se hace la siguiente operaci´n o o fila4 ← fila4 − (−5/4)fila1  4 3 −2 0 −0.25 2.5  0 4.5 0 0 3.75 −1.5  1 4 4.25 −11  2.5 −5  2.25 −3

Ahora hay que obtener ceros en la segunda columna. Se empieza por la posici´n o (3, 2) haciendo la operaci´n o fila3 ← fila3 − (4.5/ − 0.25)fila2  4 3 −2 0 −0.25 2.5  0 0 45 0 3.75 −1.5  1 4 4.25 −11   79 −203 2.25 −3

Para obtener ceroen la posici´n (4, 2) se hace la siguiente operaci´n o o fila4 ← fila4 − (3.75/ − 0.25)fila1  4 3 −2 0 −0.25 2.5  0 0 45 0 0 36 1 4.25 79 66  4 −11   −203 −168

por ultimo para buscar cero en la posici´n (4, 3) se hace la siguiente operaci´n ´ o o 3

fila4 ← fila4 − (36/45)fila3  4 3 0 −0.25  0 0 0 0 −2 2.5 45 0  1 4 4.25 −11   79 −203 2.8 −5.6

El sistema resultante es...