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Distribución de Probabilidad Binomial
¿Qué es una distribución de probabilidad?
Muestra todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada resultado.
¿Cómo generamos una distribución de probabilidad?
Supongamos que se quiere saber el número de caras que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda al aire?
Es obvio que, el hecho de que la moderna caiga de costado sedescarta.
Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras, tres caras y cuatro caras.
Si realizamos el experimento obtenemos el siguiente espacio muestral:


NUMERO DE CARAS
FRECUENCIA
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
0
1
1/16
1
4
4/16
2
6
6/16
3
4
4/16
4
1
1/16
OBSERVACION
1. La probabilidad de cada resultado especifico va desde cero hasta uno inclusive
2VARIABLE ALEATORIA.-Cantidad que es resultado de un experimento y debido al azar, puede tomar valores diferentes.
Variable aleatoria discreta:- Toma valores claramente separados, generalmente se produce por conteo.
2.1Variable aleatoria continua:-Cantidades que toman infinitos valores, dentro de un rango permitido, generándose una distribución de probabilidades continuas.
2.2Media de unaDistribución de Probabilidades.-Valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria, también es conocido como valor esperado. Esta media es un promedio ponderado, en el que los valores posibles se ponderan mediante sus probabilidades correspondientes de ocurrencia, se calcula con la fórmula:

Donde P(X) es la probabilidad que puede tomar la variable aleatoria X.
2.3Varianza.- Mide el grado de dispersiónde la distribución de probabilidades, siendo la fórmula:


También se aplica la fórmula:

Desviación Estándar.-Es la raíz cuadrad del varianza, luego:


DISTRIBUCIÓN DE LA PROBABILIDAD BINOMIAL
Esta distribución es la que mejor se ajusta a la distribución de probabilidades de variable discreta.
Si lanzamos dos monedas al aire, se tiene el siguiente espacio maestral:


Si p es laprobabilidad de obtener una cara(c) al considerar una sola moneda y q la probabilidad de que salga sello(s); entonces p=q= ½; luego:



Con el binomio de Newton deducimos lo siguiente:

Luego, la distribución de probabilidad binomial está dada por:

Dónde:
p: Probabilidad de éxito de cada ensayo.
n: Número de ensayos.
x: Número de éxitos.
OBSERVACIÓN
(1)
(2) Si p=q=1/2, el histogramade las distribuciones binomiales son simétricas.

Si el experimento se repite r veces con n ensayos ; entonces se tiene:

Luego se deduce que:


MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Esta dada por:

VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA
Estos son similares a las distribuciones acumuladas, así aplicamos para las distribuciones binomiales.
VARIABLEALEATORIA X
P=0.60 Probabilidades
0
0.004
1
0.0037
2
0.0138
3
0.276.
4
0.311
P(x=0.05N
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON
Describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado (tiempo, volumen, temperatura, etc...).La distribución se basa en dos supuestos:
1°) La probabilidad es proporcional a la extensión del intervalo.
2°) Los intervalos sonindependientes.
Esta distribución es una forma límite de la distribución binomial,cuando la probabilidad de éxito es bien pequeña y n es grande ,a esta distribución se llama "Ley de eventos improbables", lo cual significa que la probabilidad de p es bien pequeña .La probabilidad de Poisson es una probabilidad discreta; puesto que se forma por conteo


Dónde:
Media del número de ocurrencias.
: Constantede Euler.
x : Número de ocurrencias
Media:
Esta dado por:

.
APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD.
En el Laboratorio de Control y Automatización de la FIEE de la UNAC se tiene 16 computadoras, el Jefe de dicho laboratorio reporta el siguiente informe:

El jefe de laboratorio desea saber cuál es la distribución de probabilidad de falla de las máquinas, para tomar acciones de...