Proyectos

Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática
Matemática básica 2

Proyecto
Entrega: 28 de Junio 2012

Introducción:
El desarrollo de la tecnología en el área de las computadoras y las calculadoras con
capacidades numéricas, simbólicas y de graficación , ha influido en las metodologías
utilizadas en la actualidad en los proceso enseñanzaaprendizaje de las matemáticas. Esto
se debe en parte a que los Sistemas Algebraicos por Computadora (SAC) permiten visualizar
todo tipo de gráficas y realizar una ampl ia variedad de cálculos que hace apenas algunos
años era imposible. Los profesores del Departamento de Matemática de la Facultad de
Ingeniería, conocedores de esta realidad hemos impulsado el uso de las nuevas tecnologías através del taller de matemática y proyectos grupo. Esperamos que los estudiantes hagan el
esfuerzo que les corresponde con el objetivo de obtener una formación integral.
Objetivo:
El objetivo de este proyecto es que el estudiante utilice el programa mathematica en la
solución de p roblemas de cálculo diferencial e integral .

Problema 1: Cálculo de límites
En este problema es el uso sistemáticode una computadora para el análisis numérico, gráfico
y algebraico de los límites.
Análisis numérico
Suponga que queremos analizar el valor del límite (si es que existe) de una función f en
x  a.

lim f ( x )
x a

Cuando x tiende al número a por la derecha podemos utilizar la serie de números
a  h, a  h2 , a  h3 ,

, a  hn

donde h es un número pequeño, 0  h  1 . Por ejemplo,si h  0.1 , obtenemos la siguiente
serie de números que se aproximan a x  a por la derecha
a  0.1, a  (0.1)2 , a  (0.1)3 ,

, a  (0.1)n  a  0.1, a  0.01, a  0.001,

, a  (0.1)n

De la misma forma, para anali zar el límite cuando x tiende a a por la izquierda podemos
utilizar una serie de la forma
a  h, a  h2 , a  h3 ,

, a  hn

si h  0.1 obtenemos
a  0.1, a  (0.1)2, a  (0.1)3 ,

, a  (0.1)n  a  0.1, a  0.01, a  0.001,

Por ejemplo con la función f ( x ) 
tabla numérica siguiente:

, a  (0.1)n

x  25  5 , cuando x  0 , con h  0.2 , obtenemos la
x

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x
0.2
0.04
0.008
0.0016
0.00032
0.000064
Estos resultadosnuméricos sugieren que

lim

x  0

f(x)
0.0998
0.09996
0.09999
0.10000
0.10000
0.10000

x  25  5  1
x
10

Análisis gráfico:
Una forma sencilla de calcular aproximadamente un límite utilizando la representación
gráfica de la función consiste en hacer uno o más acercamientos de la gráfica en el valor de x
en donde queremos calcular el límite. Mientras más acercamientosefectuemos, mejor será la
estimación que hagamos.
Análisis algebraico:
La mayoría de programas cómputo matemático tienen uno o más comandos para el cálculo
exacto de l ímites. Consulte la ayuda del programa Mathematica para obtener el comando
apropiado que le permita calcular directamente un límite.
Para cada uno de los límites que se proponen a continuación:
(a) Utilice su programa de cómputo paracalcular aproximadamente los límites utilizando el
análisis numérico des crito anteriormente. Deberá utilizar diferentes valores de h en
cada problema y calcular el límite por la izquierda y por la derecha.
(b) Calcule los límites gráficamente realizando al menos dos aproximaciones de la gráfica.
Debe dejar constancia gráfic a de sus aproximaciones.
(c) Utilice el programa para calcular elvalor exacto de los límites.
1.1


1
1
lim 

x 1  2 1  x
3 1 3x


1.3

lim x sen 1
x 
x
















2x  1  2x  1
x

1.2

lim

1.4

lim 1  x 2 

x 0

1
x

x 0

Problema 2: Formación del arco iris
El arco iris se forma cuando la luz del Sol atraviesa las gotas de lluvia, sufriendo reflexión y
refracción, como se...