Prueba Calc

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UNIVERSIDAD CATOLICA
DEL NORTE
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
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CALCULO
I (MA 120), CALCULO
CON GEOMETR´IA ANAL´ITICA (MA 189)
Pauta de Primera Prueba de C´atedra (M´odulo 1), Mi´ercoles 09 de Abril del 2014
Preguntas y Respuestas
1. (18 ptos) Encuentre el conjunto soluci´on de la siguiente inecuaci´on
|x| ≤ 2|x − 3|
Soluci´
on
Determinar puntos cr´ıticos.
Los puntos cr´ıticos son x1 = 0, x2 =3. Luego esto origina los siguientes casos:
Caso I : (−∞, 0).
−x ≤ 2(3 − x)
x≤6
Luego la soluci´on de este caso es SI = (−∞, 0) ∩ (−∞, 6] = (−∞, 0).
Caso II : (0, 3).
x ≤ 2(3 − x)
3x ≤ 6
x≤2
Luego la soluci´on de este caso es SII = (0, 3) ∩ (−∞, 2] = (0, 2].
Caso III : (3, +∞).
x ≤ 2(x − 3)
x≥6
Luego la soluci´on de este caso es SIII = (3, +∞) ∩ [6, +∞) = [6, +∞).
Expresar soluci´on final de lainecuaci´on.
Realizamos la operaci´on SI ∪ SII ∪ SIII = (−∞, 0) ∪ (0, 2] ∪ [6, +∞)
Analizamos punto cr´ıtico x = 0 directamente en la inecuaci´on inicial: |0| = 0 ≤ 2| − 3| = 6.
Dicha relaci´on es cierta, luego x = 0 es tambi´en soluci´on de dicha inecuaci´on. Finalmente tenemos
que la soluci´on final est´a dada por:
SF = (−∞, 2] ∪ [6, +∞).

Alternativa de Soluci´
on
Comprobar que x = 3 no essoluci´on de la inecuaci´on y transformar inecuaci´on inicial a forma
equivalente.
La relaci´on |3| = 3 ≤ 2|0| = 0 no es cierta. Luego x = 3 no es soluci´on, por lo que podemos
expresar la inecuaci´on dada en su forma equivalente
x
x
≤ 2 ⇐⇒ −2 ≤
≤2
x−3
x−3
Comparar con cero una primera desigualdad.
x
3x − 6
x
≥ −2 ⇒
+2≥0⇒
≥0
x−3
x−3
x−3
An´alisis de signos mediante tabla usando los puntos cr´ıticos.Dados puntos cr´ıticos x = 2, x = 3 tenemos la siguiente tabla de signos.
−∞

2

3

+∞

3(x − 2)

−

+

+

x−3

−

−

+

3(x−2)
x−3

+

−

+

Soluci´on del primer caso.
Seg´
un tabla de signos tenemos la soluci´on SI = (−∞, 2] ∪ (3, +∞)
Comparar con cero desigualdad restante.
x
6−x
x
≤2⇒
−2≤0⇒
≤0
x−3
x−3
x−3
An´alisis de signos mediante tabla usando los puntos cr´ıticos.
Dados puntos cr´ıticos x =6, x = 3 tenemos la siguiente tabla de signos.
−∞

3

6

+∞

6−x

+

+

−

x−3

−

+

+

6−x
x−3

−

+

−

Soluci´on del segundo caso caso.
Seg´
un tabla de signos tenemos la soluci´on SII = (−∞, 3) ∪ [6, +∞)
Soluci´on final.
Mediante propiedades de inecuaci´on tenemos que la desigualdad tratada tiene finalmente como
soluci´on
SF = SI ∩ SII = (−∞, 2] ∪ [6, +∞)

√
2. (16 ptos) Dada la funci´ondefinida como f (x) =

4x2 − 1
|x| − 1

2.1) (8 ptos) Determine dominio m´aximo de definici´on de f (Dom(f )).
Soluci´
on
Identificar las restricciones de la variable en la funci´on f .
Observemos que:
)
1] [1
∪ , +∞
2
2
|x| − 1 ̸= 0 ⇒ |x| =
̸ 1 ⇒ x ̸= ±1 =⇒ S2 = R − {−1, 1}

4x2 − 1 ≥ 0 ⇒ (2x − 1)(2x + 1) ≥ 0 =⇒ S1 =

(

− ∞, −

Determinar Dom(f ) como la intersecci´on de las restricciones Si , i =1, 2
(
)
1] [1
Luego el Dom(f ) = S1 ∩ S2 = − ∞, − ∪ , +∞ \ {−1, 1}.
2
2
2.2) (4 ptos) Encuentre los puntos de intercepto con el eje x de la funci´on f .
Para encontrar los interceptos con el eje de las x, tenemos que igualar la funci´on a cero.
Veamos

√
f (x) =

4x2 − 1
1 1
= 0 ⇒ (2x − 1)(2x + 1) = 0 ⇒ x = − ,
|x| − 1
2 2

Soluci´
on
2.3) (4 ptos) Encuentre la expresi´on para la funci´on queresulta de trasladar una unidad hacia
la izquierda la funci´on f .
Soluci´
on
Expresar sin desarrollar la expresi´on que representa el traslado que se menciona.
f (x + 1)
Desarrollar expl´ıcitamente la operaci´on anterior.
√
√
4(x + 1)2 − 1
4x2 + 8x + 3
f (x + 1) =
=
|x + 1| − 1
|x + 1| − 1
Obs: Para tener la totalidad de los puntos en este item, no es necesario desarrollar el
binomio del cuadrado.3. (16 ptos) Dadas las funciones
f : (−∞, 3) −→ B
x

−→ f (x) =

g(x) = ex
x+1
3−x

3.1) (7 ptos) Sabiendo que f es inyectiva, encuentre el conjunto B de modo que f tenga inversa.
Soluci´
on
Fundamentaci´on del conjunto B y despejar x en funci´on de y
Para que la funci´on f (x) sea invertible es necesario que sea biyectiva, luego tenemos que
exigir que su conjunto de llegada B sea igual a el...