prueba chi cuadrado spss

5.4 PRUEBAS CHI-CUADRADO
CONTENIDOS:
5.4.1. Prueba de bondad de ajuste.
5.4.2 Prueba de independencia.
5.3.3 Prueba de homogeneidad.
OBJETIVOS:
•
•
•
•

Plantear hipótesis para diferentes propósitos.
Determinar los pasos a seguir al realizar una prueba chi-cuadrado.
Interpretar el nivel de significación de la prueba de hipótesis.
Redactar una conclusión con los resultados obtenidosde la prueba de
hipótesis realizada.
• Realizar pruebas chi-cuadrado en problemas prácticos

5.4.1

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE.

Parámetro. Estimador. Hipótesis. Frecuencia esperada
Estadístico de prueba. Nivel de significación. Región de rechazo. Conclusión.
CONCEPTOS CLAVES:

RESUMEN DE CONCEPTOS Y PROPIEDADES:
Sea X ∼ ℑ0 (θ ) , ℑ0 es una distribución teórica conocida que depende deun parámetro θ y
se tiene una muestra aleatoria de tamaño n de X agrupada en m categorías A1 , A2 ,......, An
con frecuencias observadas n1 , n2 ,...., nm
Pasos a seguir al realizar la prueba de hipótesis:
P1: Plantear hipótesis.
Hipótesis nula H 0 : Los datos se ajustan a la distribución teórica ℑ0
v/s Hipótesis alternativa H A : Los datos no se ajustan a la distribución teórica
m

P2:Estadístico de prueba: J 0 = ∑
i =1

( ni − ei )
ei

2

∼ χ 2 (m − k − 1)

Donde ni : Frecuencia observada de la categoría Ai
ei = nP( Ai ) : Frecuencia esperada de la categoría Ai
k : número de parámetros estimados en la distribución teórica.
m : número de categorías en que se agrupan los datos.
P3: Establecer un nivel de significación: α = P (Re chazar H 0 / H 0 es verdadero)
P4:Región de rechazo de H 0
Para H 0 v / s H A ⇒ R = { x / x > χ 2(1−α ,m − k −1) }
P5: Decisión: Si J 0 ∈ R ⇒ se rechaza H 0 al nivel de significación α
P6: Conclusión: Se debe interpretar la decisión tomada en Paso 5.

EJERCICIO RESUELTO, PASO A PASO:
Ejercicio 1: (Aplicación en Ciencias de la salud)
El número de alumnos por semana que sufren algún tipo de accidente en un colegio
durante36 semanas del periodo escolar es la siguiente:
Nº alumnos accidentados (X)
0 1 2 3 4 o más
Nº de semanas con X accidentes ( ni ) 6 8 10 6
6
Probar si la muestra de datos se ajusta a una distribución de Poisson con intensidad λ , con
un nivel de significación de 5%
Esquema de solución
Paso 1: Leer cuidadosamente el enunciado del problema.
Paso 2: Identificar la variable en estudio y losparámetros involucrados.
Sea X = Número de alumnos accidentados. En este caso se debe suponer que X ∼ ℘( λ ) ;
es decir, P( X = j ) =

λ j e−λ

y el parámetro involucrado es la intensidad λ , donde λ es el

j!

número promedio de alumnos accidentados por semana en la población.
Paso 3: Estimar los parámetros. En este caso se tiene que el estimador de la intensidad
es la media muestral,luego de la tabla de frecuencias obtenemos que
5

∑xn

i i

0*6 + 1*8 + 2 *10 + 3*6 + 4*6 70
=
= 1.94
36
36
36
Paso 4: Leer la pregunta 1 y revisar cual de los conceptos se debe usar para obtener
lo pedido. Para responder la pregunta se debe realizar una prueba de bondad de ajuste
donde las hipótesis deben ser: H 0 : Los datos se ajustan a la distribución de Poisson
v/s H A : Losdatos no se ajustan a la distribución de Poisson.
ˆ
λ=X =

i =1

=

Paso 5: Realizar la prueba siguiendo los seis pasos.
P1: Plantear hipótesis.
Hipótesis nula H 0 : Los datos se ajustan a la distribución de Poisson
v/s Hipótesis alternativa H A : Los datos no se ajustan a la distribución de Poisson
5

P2: Estadístico de prueba:

J0 = ∑
i =1

( ni − ei )
ei

Donde ei = P( Ai )*36 y Ai = ( X = i − 1)
Luego

2

∼ χ 2 (5 − 1 − 1)
para i = 1, 2,3, 4,5

P( A1 ) = P( X = 0) =

(1.94)0 e−1.94
= 0.1437 ⇒ e1 = 36*0.1437 = 5.1732
0!

P( A2 ) = P( X = 1) =

(1.94)1 e −1.94
= 0.2788 ⇒ e2 = 36*0.2788 = 10.0368
1!

(1.94) 2 e −1.94
= 0.2704 ⇒ e3 = 36*0.2704 = 9.7344
2!
(1.94)3 e −1.94
P( A4 ) = P( X = 3) =
= 0.1749 ⇒ e4 = 36*0.1749 = 6.2964
3!
P( A5 ) =...