Prueba Chi-Cuadrado
Páginas: 5 (1033 palabras)
Publicado: 28 de mayo de 2013
PRUEBA CHI-CUADRADO DE BONDAD DEL AJUSTE
Esta es una prueba de carácter completamente general, que se utiliza no solamente para verificar el ajuste a la normalidad, sino también para el ajuste a cualquier otra Distribuci6n teórica de probabilidad.
Aplicada al caso de la normalidad, dicha prueba sirve para contrastar la Hipótesis Nula H0: El proceso se ajusta a una normal, contra laHipótesis Alternativa H1: El proceso no se ajusta a una normal.
Es decir, si se designa por “X” a la variable en estudio, la prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste, es una prueba de hipótesis en donde:
H0: “X” se ajusta a una Distribución Normal
H1: “X” no se ajusta a una Distribución Normal l
Para decidir si se acepta o se rechaza la Hipótesis nula H0 , se dispone como informaci6n una muestrade valores de la variable “X”, la cual deberá estar presentada como una tabla agrupada de frecuencias, en donde los diferentes valores observados de la variable “X”., aparecen clasificados en intervalos, con sus respectivas frecuencias.
Dicha tabla debe ser construida tomando muestras al azar del proceso, y aunque no existe una regla fija acerca de cuantas observaciones tomar, es recomendableque se tenga por lo menos 100 observaciones, clasificadas en por lo menos seis (6) intervalos.
Una vez construida esta tabla, los pasos a seguir son:
Paso 1: Estimar los parámetros “µ” y “σ” de la distribución mediante la media muestral , y la varianza muestral S2, que como bien se sabe se calculan mediante las fórmulas:
En donde
Li Marca de clase del intervalo i
fi Frecuencia delintervalo i.
k Número de intervalos
Paso 2: Con los parámetros estimados, calcular la probabilidad de cada uno de los intervalos, mediante el uso de la tabla normal.
Este paso es importante tener en cuenta el detalle de que los intervalos extremos deben ser definidos como < Li el primero., y como ≥ Lk el último, puesto que de lo contrario la suma de las probabilidades de los k.intervalos no será igual a 1, debido a que como es sabido el dominio teórico de la curva normal es desde - ∞ hasta + ∞.
Paso 3: Calcular las frecuencias esperadas de cada intervalo, multiplicando el tamaño total de muestra por su probabilidad te6rica.
Estas frecuencias esperadas representan el número de observaciones que deberían caer en cada uno de los intervalos, en caso de ser cierta lahip6tesis de normalidad, y por lo tanto deberían ser muy parecidas a las observadas en la realidad, para poder aceptar la hip6tesis de normalidad del proceso.
Paso 4: Comparar las frecuencias observadas con las esperadas, mediante el cálculo del estadístico chi-cuadrado, definido por:
El valor de X2, mide la diferencia entre las frecuencias observadas y las esperadas; cuanto más grande seasu valor, mayor es la diferencia entre la realidad observada y el modelo teórico normal, mientas que cuanto más pequeño sea su valor, mejor es el ajuste del modelo teórico normal a la realidad observa- da en la muestra.
En este paso, hay que cuidar el detalle de que todas las frecuencias espera- das deben ser iguales o mayores que cinco (5). En caso de que este requisito no se cumpla, esnecesario combinar ese intervalo con cualquiera de sus vecinos, hasta alcanzar una frecuencia esperada de cinco (5) o más.
La justificación de este requisito es porque la prueba chi-cuadrado, está basada en la aproximaci6n normal a la binomial, y para que esta aproximación sea satisfactoria se exige: npi ≥ 5
Una vez calculado el valor de X2, el último paso es ir a las tablas de la distribuciónchi-cuadrado, con un nivel de nivel de significación α previamente seleccionado (usualmente 5%), con (k-3) grados de libertad1, y leer la abscisa que deja a la derecha un área α.
Si: X2 ≤ =>Aceptar Ho, es decir es aceptable el ajuste a la Normal.
Si: X2 > =>Rechazar Ho' es decir, no es aceptable el ajuste a la Normal.
La zona de rechazo es exclusivamente del lado derecho, pues...
Esta es una prueba de carácter completamente general, que se utiliza no solamente para verificar el ajuste a la normalidad, sino también para el ajuste a cualquier otra Distribuci6n teórica de probabilidad.
Aplicada al caso de la normalidad, dicha prueba sirve para contrastar la Hipótesis Nula H0: El proceso se ajusta a una normal, contra laHipótesis Alternativa H1: El proceso no se ajusta a una normal.
Es decir, si se designa por “X” a la variable en estudio, la prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste, es una prueba de hipótesis en donde:
H0: “X” se ajusta a una Distribución Normal
H1: “X” no se ajusta a una Distribución Normal l
Para decidir si se acepta o se rechaza la Hipótesis nula H0 , se dispone como informaci6n una muestrade valores de la variable “X”, la cual deberá estar presentada como una tabla agrupada de frecuencias, en donde los diferentes valores observados de la variable “X”., aparecen clasificados en intervalos, con sus respectivas frecuencias.
Dicha tabla debe ser construida tomando muestras al azar del proceso, y aunque no existe una regla fija acerca de cuantas observaciones tomar, es recomendableque se tenga por lo menos 100 observaciones, clasificadas en por lo menos seis (6) intervalos.
Una vez construida esta tabla, los pasos a seguir son:
Paso 1: Estimar los parámetros “µ” y “σ” de la distribución mediante la media muestral , y la varianza muestral S2, que como bien se sabe se calculan mediante las fórmulas:
En donde
Li Marca de clase del intervalo i
fi Frecuencia delintervalo i.
k Número de intervalos
Paso 2: Con los parámetros estimados, calcular la probabilidad de cada uno de los intervalos, mediante el uso de la tabla normal.
Este paso es importante tener en cuenta el detalle de que los intervalos extremos deben ser definidos como < Li el primero., y como ≥ Lk el último, puesto que de lo contrario la suma de las probabilidades de los k.intervalos no será igual a 1, debido a que como es sabido el dominio teórico de la curva normal es desde - ∞ hasta + ∞.
Paso 3: Calcular las frecuencias esperadas de cada intervalo, multiplicando el tamaño total de muestra por su probabilidad te6rica.
Estas frecuencias esperadas representan el número de observaciones que deberían caer en cada uno de los intervalos, en caso de ser cierta lahip6tesis de normalidad, y por lo tanto deberían ser muy parecidas a las observadas en la realidad, para poder aceptar la hip6tesis de normalidad del proceso.
Paso 4: Comparar las frecuencias observadas con las esperadas, mediante el cálculo del estadístico chi-cuadrado, definido por:
El valor de X2, mide la diferencia entre las frecuencias observadas y las esperadas; cuanto más grande seasu valor, mayor es la diferencia entre la realidad observada y el modelo teórico normal, mientas que cuanto más pequeño sea su valor, mejor es el ajuste del modelo teórico normal a la realidad observa- da en la muestra.
En este paso, hay que cuidar el detalle de que todas las frecuencias espera- das deben ser iguales o mayores que cinco (5). En caso de que este requisito no se cumpla, esnecesario combinar ese intervalo con cualquiera de sus vecinos, hasta alcanzar una frecuencia esperada de cinco (5) o más.
La justificación de este requisito es porque la prueba chi-cuadrado, está basada en la aproximaci6n normal a la binomial, y para que esta aproximación sea satisfactoria se exige: npi ≥ 5
Una vez calculado el valor de X2, el último paso es ir a las tablas de la distribuciónchi-cuadrado, con un nivel de nivel de significación α previamente seleccionado (usualmente 5%), con (k-3) grados de libertad1, y leer la abscisa que deja a la derecha un área α.
Si: X2 ≤ =>Aceptar Ho, es decir es aceptable el ajuste a la Normal.
Si: X2 > =>Rechazar Ho' es decir, no es aceptable el ajuste a la Normal.
La zona de rechazo es exclusivamente del lado derecho, pues...
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