Prueba de kolmogorov-smirnov

Prueba de Smirnov - Kolmogorov (S-K)

En esta prueba también se está interesado en el grado de concordancia entre la distribución de frecuencia muestral y la distribución de frecuencia teórica, bajo la hipótesis nula de que la distribución de la muestra es f0(x,q) e interesa probar que no existe diferencia significativa. La prueba trabaja con la función de distribución ( distribución defrecuencia acumulativa). Esta prueba pertenece al campo de la Estadística No Paramétrica.

Sea F0(x) la función de distribución teórica para la variable aleatoria X, y representa la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual a x (también se interpreta como la proporción esperada de observaciones que tengan un valor menor o igual a x). Es decir:

Sea Sn (x) la función dedistribución empírica, calculada con base en los valores observados de la muestra n observaciones. Sn (x) representa la proporción de valores observados que son menores o iguales a x, y está definida como:

Sn (x) = P ( X £ x/ dados los resultados muestrales) = m/n

donde m es el número de valores observados que son menores o iguales a x.

En la prueba de Smirnov-Kolmogorov se está interesadoen la mayor desviación entre la función de distribución teórica y la empírica, es decir entre F0 (x) y Sn(x), para todo el rango de valores de x. Bajo la hipótesis nula se espera que estas desviaciones sean pequeñas y estén dentro de los límites de errores aleatorios. Por lo tanto, en la prueba S-K se calcula la mayor desviación existente entre F0 (x) y Sn(x), denotada por Dmax(x) y está dadapor:

Dmax(x) = Max | FX (x) - Sn (x) |

La distribución de Dmax(x) es conocida y depende del número de observaciones n. Se acepta la hipótesis nula de que no existe diferencia significativa entre las distribuciones teóricas y empíricas si el valor de Dmax(x) es menor o igual que el valor crítico Dmaxp(a,n). (Ver tabla adjunta para valores críticos).

Esta prueba se puede realizar para valoresagrupados en intervalos de clase y también para valores sin agrupar.

Tabla tomada parcialmente del libro “Simulation and Analysis of Industrial Systems”, de Schmidt y Taylor.

El procedimiento general para realizar esta prueba para valores agrupados en intervalos de clase es el siguiente:

1) Especificar la distribución nula es f0(x,q), y estimar sus parámetros si es necesario.

2)Organizar la muestra en una distribución de frecuencia, en intervalos de clase.

3) Con base en la distribución observada de frecuencia, se calcula la distribución acumulativa Sn(Xi) = mi/n, siendo Xi el límite superior del intervalo de clase, y mi el número de valores de la muestra menores o iguales que Xi. Sn(Xi) corresponde simplemente a la frecuencia relativa acumulada hasta el intervalo i.

4)Se calcula la función de distribución teórica F 0 Xi).

5) Para cada intervalo de clase se calcula la diferencia entre F0 (Xi ) y Sn (Xi), y se busca la máxima Dmax = Max | FX (Xi) - Sn (Xi), i = 1, 2, …, k.

6) Se busca en la tabla el valor crítico Dmaxp(a,n) con el nivel de significancia a. Si el valor observado Dmax es menor o igual que el valor crítico, entonces se acepta la hipótesis nulade que no existen diferencias significativas entre la distribución teórica y la distribución dada por los resultados muestrales, es decir, que los valores generados siguen la distribución que se había supuesto.

Cuando la muestra es pequeña y/o los valores no se van a organizar en intervalos de clase el procedimiento es similar, sólo que el paso 2 se cambia por “ordenar los valores de lamuestra” en forma ascendente, de menor a mayor”, y en los pasos 3 y 4 se calculan las funciones de distribución teórica y empírica para cada valor de la muestra.

Ejemplo. Considere de nuevo el ejemplo de la prueba de habilidad aplicada a un grupo de 80empleados. Mediante la prueba de Smirnov Kolomogorov. Con un nivel de significancia del 5%, pruebe la hipótesis de que los puntajes obtenidos siguen...