Prueba De Kolmogorov

Prueba de Bondad de Ajuste de
Kolmogorov-Smirnov (KS)
Hipótesis a contrastar:
H0: Los datos analizados siguen una distribución M.
H1: Los datos analizados no siguen una distribución M.
Estadístico de contraste:
0
1
sup ˆ ( ) ( ) n i i
i n
D Fx Fx
≤ ≤
= −
donde:
• xi es el i-ésimo valor observado en la muestra (cuyos
valores se han ordenado previamente de menor a mayor).
• ˆ ( ) ni F x es un estimador de la probabilidad de observar
valores menores o iguales que xi.
• 0F (x) es la probabilidad de observar valores menores o
iguales que xi cuando H0 es cierta.
Así pues, D es la mayor diferencia absoluta observada entre la
frecuencia acumulada observada ˆ ( ) n F x y la frecuencia
acumulada teórica 0F (x) , obtenida a partir de la distribución de
probabilidad que seespecifica como hipótesis nula.
Si los valores observados ˆ ( ) n F x son similares a los esperados
0F (x) , el valor de D será pequeño. Cuanto mayor sea la
discrepancia entre la distribución empírica ˆ ( ) n F x y la distribución
teórica , mayor será el valor de D.
Por tanto, el criterio para la toma de la decisión entre las dos
hipótesis será de la forma:
Si D≤Dα ⇒ Aceptar H0
Si D>Dα ⇒Rechazar H0
donde el valor Dα se elige de tal manera que:
( )
( )
0 0 P H H
P D Dα
α
=
= > =
Rechazar es cierta
Los datos siguen la distribucion M
siendo α el nivel de significación del contraste.
Para el cálculo práctico del estadístico D deben obtenerse:
1 0 1 0
max ( ) , max ( ) 1 i n i i n i
D i F x D F x i
n n
+ −
≤ ≤ ≤ ≤
=  −  =  − −     
   
y a partir de estosvalores:
D = max{D+ ,D−}
A su vez, el valor de Dα depende del tipo de distribución a probar
y se encuentra tabulado. En general es de la forma:
( )
D c
k n
α
α =
donde cα y k(n) se encuentran en las tablas siguientes:
cα α
Modelo 0.1 0.05 0.01
General 1.224 1.358 1.628
Normal 0.819 0.895 1.035
Exponencial 0.990 1.094 1.308
Weibull n=10 0.760 0.819 0.944
Weibull n=20 0.779 0.8430.973
Weibull n=50 0.790 0.856 0.988
Weibull n=∞ 0.803 0.874 1.007
DISTRIBUCIÓN QUE SE
CONTRASTA k(n)
General. Parámetros conocidos.
k(n) n 0.12 0.11
n
= + +
Normal
k(n) n 0.01 0.85
n
= − +
Exponencial
k(n) n 0.12 0.11
n
= + +
Weibull k(n) = n
Ejemplo 1:
Determinar si los valores de la primera columna se conforman a una
distribución normal:
Y Y-ordenados Orden F Z Fo D+ D-
6.01.9 1 0.1 -1.628 0.051 0.049 0.051
2.3 2.3 2 0.2 -1.332 0.091 0.109 -0.009
4.8 3.3 3 0.3 -0.592 0.276 0.024 0.076
5.6 3.4 4 0.4 -0.518 0.302 0.098 0.002
4.5 4.5 5 0.5 0.296 0.616 -0.116* 0.216*
3.4 4.5 6 0.6 0.296 0.616 -0.016 0.116
3.3 4.8 7 0.7 0.518 0.698 0.002 0.098
1.9 4.8 8 0.8 0.518 0.698 0.102 -0.002
4.8 5.6 9 0.9 1.11 0.867 0.033 0.067
4.5 6.0 10 1.0 1.406 0.920 0.080 0.020(media: 4.1 varianza: 1.82)
0.895 0.895 0.262
10 0.01 0.85 3.42
10
Dα= = =
− +
Como el valor D = 0.216 < 0.262, no se rechaza H0 y se acepta
que los datos se distribuyen normalmente.
Modo alternativo de realizar la prueba de Kolmogorov
Smirnov.
La toma de la decisión en el contraste anterior puede llevarse a
cabo también mediante el empleo del p-valor asociado al
estadístico D observado. Elp-valor se define como:
( obs 0 ) p-valor = P D > D H es cierta
Si el p-valor es grande significa que, siendo cierta la hipótesis
nula, el valor observado del estadístico D era esperable. Por
tanto no hay razón para rechazar dicha hipótesis. Asimismo, si el
p-valor fuera pequeño, ello indicaría que, siendo cierta la
hipótesis nula, era muy difícil que se produjera el valor de D queefectivamente se ha observado. Ello obliga a poner muy en duda,
y por tanto a rechazar, la hipótesis nula. De esta forma, para un
nivel de significación α, la regla de decisión para este contraste
es:
Si p-valor ≥ α ⇒ Aceptar H0
Si p-valor < α ⇒ Rechazar H0
Obviamente, la obtención del p-valor requiere conocer la
distribución de D bajo la hipótesis nula y hacer el cálculo
correspondiente. En el...