prueba electromagnetismo

1. Se tiene dos esferas de radio cada una y ambas con la misma densidad volumétrica de carga constante. En la esfera de la izquierda existe un agujero de radio . Hallar el campo eléctrico en un punto ubicado justo sobre el eje .










Solución:

El campo eléctrico resultante en el punto viene dado por la superposición de los campos eléctricos creados por dos esferasidénticas de radio y densidad volumétrica de carga y por el campo eléctrico creado por una esfera de radio y densidad volumétrica de carga (esta última esfera corresponde al agujero esférico).

Dado que el punto está afuera de todas las esferas, calcularemos el campo eléctrico fuera de una esfera usando ley de Gauss:


Usando una gaussiana esférica de radio mayor que el radio de la esfera, yconsiderando que la dirección del campo eléctrico es paralela a la diferencial de superficie en cada punto, se tiene

Dado que el módulo del campo eléctrico tiene el mismo valor sobre la superficie de la esfera Gaussiana, podemos sacar fuera de la integral,


Obteniéndose finalmente:


Nota: El campo eléctrico exterior a una distribución esférica de carga tiene la misma forma que elcampo eléctrico creado por una carga puntual.

Ahora que tenemos conocido el valor del módulo del campo eléctrico fuera de cada esfera, calculemos para cada una de ellas el valor del campo vectorial, es decir, debemos hallar para cada una de las esferas, el campo eléctrico en la forma:


donde es un vector unitario en la dirección que va desde el origen de la esfera de carga que crea elcampo hacia el punto donde se medirá el campo. Sea el campo creado por la esfera de la derecha, el campo creado por la esfera izquierda y el campo creado por el agujero (ver figura)












Los vectores unitarios vienen dados en función de los ángulos en la forma:
, ,

donde
,





Calculemos ahora la carga neta de cada esfera, recordando que la densidadvolumétrica de carga es constante y que el volumen de la esfera es , es decir, . Usando esta expresión para cada esfera tenemos:

, ,
Ahora podemos escribir cada campo eléctrico:






Del mismo modo se obtiene




El campo del agujero viene dado por:





El campo resultante de la superposición de los tres campos viene dado por:

Reemplazando los valores obtenidos de cadacampo eléctrico nos queda:


Simplificando obtenemos finalmente el campo resultante:







2. a) Hallar el campo eléctrico en cada una de las tres regiones indicadas en la figura para la configuración formada por cilindros muy largos de radios . Considere que todo el estudio se hará para valores de tales que . En el centro existe un cilindro metálico de radio sin carga neta, rodeadopor una distribución de carga radialmente simétrica dada por para con b) Calcular el potencial electrostático en cada región, sabiendo que el punto de referencia donde el potencial se hace cero es justo el punto , tal como se muestra en la figura de la derecha.











Solución:
Región I: .

Se trata de un metal descargado en equilibrio electrostático, por lo tanto:Región II:
En esta región existe una distribución volumétrica de carga dada por .
Dado que los cilindros son muy largos, existe suficiente simetría para que podamos usar la ley de de Gauss

Consideremos una gaussiana cilíndrica de altura y de radio , tal que . Sabemos que la dirección del campo eléctrico es paralela a la diferencial de superficie en cada punto del manto cilíndrico, porlo tanto se cumple que , y además sabemos que no hay contribución al flujo en la tapas de la superficie gaussiana cilíndrica, porque en las tapas el campo eléctrico es perpendicular a la diferencial de superficie de la tapa, por lo tanto, la ley de Gauss queda:

Además el módulo del campo eléctrico es constante sobre el manto cilíndrico, por lo que puede ser sacado del signo integral,...