Prueba integral

CALCULO INTEGRAL- PAUTA PRUEBA 1
1. Usando la definici´n de integral de Riemann demuestre que
o
1

(x2 + 1)dx =
0

4
.
3

o
e
Soluci´n: Sea P = {xi }n la partici´n aritm´tica de [0, 1],dada por
o
i=0
xi =

i
1
, xi − xi−1 =
n
n

Puesto que f (x) = x2 + 1 es continua en [0, 1] se tiene que

n

1

(x2 + 1)dx

=

0

=
=
=

2.

l´
ım

n→∞

1
i
(( )2 +1)
n
n
i=1

1 1 (2n + 1)(n + 1)n
[
+ n]
n n2
6
1
+1
3
4
3

a) Usando que x3 ≤ x2 , para 0 ≤ x ≤ 1, demuestre que
1

√
0

1
dx ≤
4x2 + 4

1

√
0

1
dx
x3 + 3x2 + 4Soluci´n: Notemos que
o
0≤x≤1

⇒ x3 ≤ x2
⇒ x3 + 3x2 ≤ 4x2
⇒
⇒
⇒

x3 + 3x2 + 4 ≤ 4x2 + 4
1
1
√
≥√
x3 + 3x2 + 4
4x2 + 4
1
1
1
1
√
√
dx ≥
dx
3 + 3x2 + 4
x
4x2 + 4
0
0

1b) Usando el item anterior demuestre que
√
1
2
ln (
+ 1) ≤
2
2
1

√

Soluci´n: Calculando
o
0

1

√
0

x3

1
dx
+ 3x2 + 4

1
dx tenemos que
4x2 + 4

1

√
0

1
dx4x2 + 4

1

1
2

=

√
0

1
x2

+1

dx.

Si x = tan t, entonces

1
2

1
0

1
dx
x2 + 1

1
2

=

π
4

0

sec2 t
dt
sec t

π

1 4
sec tdt
2 0
1
ln |sec t + tan x|
2
√
1
ln ( 2 + 1)
2

=
=
=
√
1
2
De donde se sigue que ln (
+ 1) ≤
2
2

1

√
0

x3

π
4

0

1
dx.
+ 3x2 + 4

3. Calcule las siguientes integrales
a)1
dx.
x2 − 1
Soluci´n: Usando fracciones parciales se tiene que
o

x2

1
1
−2
1
=
+ 2 .
−1
x+1 x−1

Por lo tanto

x2

1
dx =
−1

1
−2
dx +
x+1

1
2

x−1

dx,

dedonde se sigue que
1
1
1
dx = − ln |x + 1| + ln |x − 1| + C.
x2 − 1
2
2

2

b)

x arctan xdx.

Soluci´n: Usando integraci´n por partes tenemos que si f (x) = x y g(x) = arctan x,
o
oentonces f (x) =

x2
2

, g (x) =

1
1+x2

y
x2
1
arctan x −
2
2

x arctan xdx =
x2
dx =
1 + x2

Notemos que

(1 −

1
)dx = x − arctan x + C. Por lo tanto
1 + x2

x...